Сходимость суммы ряда по критерию Коши

[Schwarte]

Необходимо доказать сходимость суммы по критерию Коши.

Сумма: $\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^{\frac{3}{2}}}$

Критерий Коши: $\forall \varepsilon>0 \exists N_{\varepsilon} \in N \forall n>N_{\varepsilon} \forall p>0 (\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_k < \varepsilon)$

Пыталась как-нибудь ограничить сверху, например $\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} \frac{1}{k^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(n+1)^{\frac{3}{2}}}+ ... +\frac{1}{(n+p)^{\frac{3}{2}}} < \frac{1}{(n+1)^{\frac{3}{2}}} * p < \varepsilon$, однако это ничего не дает, так как выразить из этого выражения n получается только с зависимостью от p (что, как я понимаю, не допустимо).

Подскажите, пожалуйста, как это решать?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Не создавайте темы в Общих вопросах, пожалуйста, пока не выясните, для каких тем тот раздел предназначен.

[Otta]

Schwarte

Schwarte в сообщении #1493513 писал(а):

доказать сходимость суммы по критерию Коши.

Вот прям суммы? КК работает по отношению к существованию предела/сходимости рядов/несобственных интегралов... у Вас что будет? Предела точно нет. Но и ряда тоже.

Если речь идет о сходимости ряда (что-то о рядах было в заголовке), то нужно, во-первых, писать ряд.
А во-вторых, скажите, точно-точно критерий Коши Вас просили использовать? А не интегральный признак, тоже Коши?

[ewert]

Наверняка не интегральный. Не исключено, что имелась в виду малоизвестная теорема Коши про $2^n$ (например, Зорич, глава 3, параграф 1, пункт 4 (про ряды), утверждение 2 (после примера 28).

Критерий Коши здесь, конечно, притянут несколько за уши. Но можно и поизвращаться. Сумма начиная с любого номера $n$ оценивается сверху через сумму от $n$ до $2n-1$, плюс сумму от $2n$ до $4n-1$, плюс сумму от $4n$ до $8n-1$ и т.д. (это, собственно, и есть идея доказательства той теоремы Коши). Оценивая грубо каждую подсумму через начальное слагаемое, получим сумму фиксированной геометрической прогрессии, умноженную на отрицательную степень $n$; вот вам и критерий Коши, если угодно.

А почему это извращение -- потому, что фактически здесь задействован не критерий Коши, а более примитивная теорема: для знакоположительных рядов сходимость равносильна ограниченности.

-- Сб ноя 21, 2020 12:03:38 --

Otta в сообщении #1493520 писал(а):

Предела точно нет. Но и ряда тоже.

А ряд и не обязателен. Наверняка имелась в виду последовательность тех сумм.

[Otta]

(Оффтоп)

ewert, Вы еще зануднее, чем я Так ведь и про последовательность никто не вспомнил!

ewert в сообщении #1493545 писал(а):

Наверняка не интегральный.

Ну а почему, собсна, наверняка...

[RIP]

Есть известный трюк для похожей последовательности: $\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k^2}<\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k(k-1)}=\sum_{k=n+1}^{n+p}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}<\frac{1}{n}$.
Подозреваю, что от Вас хотят, чтобы Вы придумали аналогичное неравенство вида $\frac{1}{k\sqrt{k}}<a_{k-1}-a_{k}$. Подсказка: $\frac{1}{\sqrt{k}}<\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}$.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1493581 писал(а):

Ну а почему, собсна, наверняка...

Потому что интегральный идёт гораздо позже любого из остальных Коши.

[vicvolf]

ewert в сообщении #1493545 писал(а):

Наверняка не интегральный. Не исключено, что имелась в виду малоизвестная теорема Коши про $2^n$ (например, Зорич, глава 3, параграф 1, пункт 4 (про ряды), утверждение 2 (после примера 28).

Ну тогда уже прямо из следствия утверждения 2 и ничего доказывать не надо
Думаю, что задача поставлена на использование критерия Коши напрямую, как предлагает уважаемый RIP.