Группа Галуа

[MChagall]

Две задачи на поиск группы Галуа
1) $L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}),F=L(\sqrt{(\sqrt{2}+2)(\sqrt{3}+3)})$
Доказать, что $F/\mathbb{Q}$ - расширение Галуа с группой $G\approx Q_8$

Я знаю, что $L$ - расширение Галуа с четверной группой $V_4$. Руками проверил, что $\sqrt{(\sqrt{2}+2)(\sqrt{3}+3)}\notin L$. Так как $[F:L]=2$, то $[F:\mathbb{Q}]=8$ и #$G=8.$
Получается, что есть подгруппа $H\subset G:G/H\approx V_4$.
Групп порядка 8 пять штук: две некоммутативные и три коммутативные. Почему отметаем коммутативные? Ну с циклической, вроде, понятно: там фактор должен быть циклическим. А с остальными?
Далее, в $Q_8$ есть единственная подгруппа порядка 2, она нормальная и фактор по ней $V_4$.
В $D_4$ также есть нормальная подгруппа порядка 2 и фактор по ней $V_4$.
Как показать что у меня именно $Q_8$?

2) Найти группу Галуа $\mathbb{Q}(\cos(\frac{2\pi}{15}))/\mathbb{Q}$
$\cos(\frac{2\pi}{15})=\frac{\xi+\overline{\xi}}{2}$, где $\xi$ - первообразный корень 15-й степени из 1.

Я нашёл, что $Gal(\mathbb{Q}(\xi)/\mathbb{Q})=\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4$.
$[\mathbb{Q}(\xi):\mathbb{Q}(\xi+\overline{\xi})]=2$, значит $Gal(\mathbb{Q}(\xi+\overline{\xi}))=\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4/H$, где $H$ - нормальная подгруппа порядка 2. Но таких три штуки.
Как здесь найти группу Галуа?

[vpb]

Не надо никаких групповых рассуждений.
1) Все числа, сопряженные с $\alpha=\sqrt{(\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}$, можно легко выписать явно (как действительные числа, в школьном смысле, через корни). И потом прикинуть, как их группа Галуа может переставлять.

2) Примерно то же. Любой элемент из искомой группы Галуа есть ограничение автоморфизма поля ${\mathbb Q}(\xi)$. Остается рассмотреть действие на орбите элемента $\xi+\overline\xi$.

[MChagall]

vpb в сообщении #1491265 писал(а):

можно легко выписать явно

$\pm\sqrt{(\pm\sqrt2+2)(\pm\sqrt3+3)}$
Правильно я понимаю?

[MChagall]

С 2), вроде, получилось.
Беру автоморфизм $\xi\to \xi^2$.
Тогда $\xi+\xi^{14}\to \xi^2+\xi^{13}\to \xi^4+\xi^{11}\to \xi^8+\xi^{7}\to \xi+\xi^{14}$ - автоморфизм $\mathbb{Q}(\xi+\overline{\xi})$ четвёртого порядка, значит $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$. Верно?

-- 09.11.2020, 17:36 --

А вот с 1) не пойму.
Автоморфизм $\sqrt{(\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}\to -\sqrt{(\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}$ имеет порядок 2.
Автоморфизм $\sqrt{(\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}\to \sqrt{(-\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}$ также имеет порядок 2. Но в группе $Q_8$ только 1 элемент порядка 2. Где я ошибаюсь?

[vpb]

MChagall в сообщении #1491306 писал(а):

Правильно я понимаю?

Да.

MChagall в сообщении #1491368 писал(а):

Автоморфизм $\sqrt{(\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}\to -\sqrt{(\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}$ имеет порядок 2.

Чтоб задать автоморфизм, недостаточно, вообще говоря, указать образ одного элемента. Хотя в данном случае как раз достаточно.

MChagall в сообщении #1491368 писал(а):

Где я ошибаюсь?

А вы выпишите его полностью, укажите образы всех сопряженных с $\alpha$, а также $\sqrt2$ и $\sqrt3$. Может, кстати, и не ошибаетесь (т.е. ошибка в условии). Не смотрел подробно.

[MChagall]

$\sqrt{2}\to -\sqrt{2}$, тогда $-\sqrt{2}\to \sqrt{2}$
$\sqrt{(\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}\to \sqrt{(-\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}$
$\sqrt{(-\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}\to \sqrt{(\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}$
$\sqrt{(\sqrt2+2)(-\sqrt3+3)}\to \sqrt{(-\sqrt2+2)(-\sqrt3+3)}$
$\sqrt{(-\sqrt2+2)(-\sqrt3+3)}\to \sqrt{(\sqrt2+2)(-\sqrt3+3)}$
$-\sqrt{(\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}\to -\sqrt{(-\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}$
$-\sqrt{(-\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}\to -\sqrt{(\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}$
$-\sqrt{(\sqrt2+2)(-\sqrt3+3)}\to -\sqrt{(-\sqrt2+2)(-\sqrt3+3)}$
$-\sqrt{(-\sqrt2+2)(-\sqrt3+3)}\to -\sqrt{(\sqrt2+2)(-\sqrt3+3)}$

Что-то где-то не понимаю или порядок этого автоморфизма 2 (и это не $Q_8$). Где ошибаюсь?

[vpb]

MChagall в сообщении #1491417 писал(а):

Что-то где-то не понимаю

Это верно, кое-чего не понимаете. Все-таки там $Q_8$. Подумайте еще. И, спрашивать подтверждения каждого небольшого шага --- это тоже неправильно. Нужно быть более самостоятельным.

MChagall в сообщении #1491368 писал(а):

значит $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$. Верно?

Может быть, и верно, но в этом рассуждении не хватает деталей.

[MChagall]

vpb в сообщении #1491451 писал(а):

Нужно быть более самостоятельным.

Я стараюсь, просто здесь зашёл в тупик, и, думаю, дальнейшие размышления не сдвинут с места.
У меня $\sqrt{2}$ может перейти в $\pm\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ в $\pm\sqrt{3}$, "внешний" корень - в $\pm$ "внешний" корень.
Вот я взял и перевёл $\sqrt{2}$ в $-\sqrt{2}$, а $\sqrt{3}$ и "внешний" оставил на месте. Дальше я расписал постом выше что куда переходит (как я это понимаю).
Видимо, расписал неправильно. И почему?

vpb в сообщении #1491451 писал(а):

в этом рассуждении не хватает деталей

Вы имеет ввиду, что надо не 1 элемент, а весь автоморфизм написать? Или нахождение порядка группы расписать?

[vpb]

Ну, допустим, автоморфизм таков, что $\sqrt{(\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}$ перейдет в $\sqrt{(-\sqrt2+2)(\sqrt3+3)}$. Как, зная этот факт, доказать, что тогда $\sqrt2$ перейдет непременно в $-\sqrt2$, а $\sqrt3$ в себя ?

[MChagall]

В итоге, разобрался. Взял автоморфизм, переводящий $\sqrt{2}\to -\sqrt{2},\sqrt{3}\to\sqrt{3}$, и посмотрел куда переходит большой корень. И дальше то же самое с другим автоморфизмом и всё получилось. Спасибо!