Такое вот не то чтобы решение - но последовательная замена одной задачи на другую.
Для начала упомяну очевидное свойство любого решения - его круговая перестановка тоже решение, а перестановка в обратном порядке - решение для

. Это позволяет рассматривать только положительные

(

решает уравнения для

, что неинтересно). Так же очевидно, что если домножить три числа на любой коэффициент, то это тоже решение - то есть если мы найдем рациональное решение, то, домножив его на НОК знаменателей, получим целое решение, будем иметь в виду это.
Если обозначить

, то получим следующее:


Из этого равенства следует, что

Если решение существует, то существуют три рациональных числа (более того, положительных), удовлетворяющих этому равенству. Поскольку они положительны, то их сумма больше

, а по построению видно, что хотя бы одно из них должно быть больше единицы.
Эти числа - корни уравнения

. Раскрыв скобки, получим:

Введя обозначение

(оно тоже рационально и положительно), получаем уравнение

или

Таким образом, вопрос задачи эквивалентен следующему утверждению:

такое, что это уравнение имеет три рациональных корня

, тогда исходное уравнение имеет решение, пропорциональное набору

.
Рассматривая функцию

, можно обнаружить, что один из корней находится на интервале

, хотя о рациональности это еще ничего не говорит. Надо заметить, что если при некотором

рациональный корень существует, он является несократимой дробью, числитель и знаменатель которой - делители знаменателя

. То есть, чтобы корнем было число

, требуется, чтобы $s=\frac{p}{uvw}. Подставляя это в уравнение, получаем выражение:

.
Выберем

, тогда

.
Таким образом, существует

, для которого один из корней - рационален. Но при этом два других корня не обязательно рациональны, они могут содержать радикалы, и требуется подобрать подходящие

. Поделив кубическое уравнение на

и получим уравнение:

.
Мы можем домножить его на

и получить уравнение с целыми коэффициентами. Его дискриминант равен

.
Теперь задача свелась к доказательству существования таких взаимно простых натуральных

при данном

, что эта величина является полным квадратом:

. Это случится, если существуют два целых числа, чья разность равна

, а произведение -

.
Чтобы пояснить, что это работатет:
Например, для

можно взять

, тогда получаем, соответственно,

, квадратное уравнение становится

- его решения

и

, так что для решения исходного уравнения получаем, например, тройку

- или в натуральных числах

. Заметьте, что так же подойдет тройка

, то есть

.
То есть, следующий этап - доказать, что для данного

существует пара натуральных чисел

такая, что величина

раскладывается на два множителя с разностью

. Но дальше пока двигаться не выходит.