Сходимость последовательности

[Schwarte]

Здраствуйте, помогите пожалуйста разобраться!

Задание: исследовать сходимость последовательности
$x_{n+1} = \sin(2x_n)$
$x_1 = \frac {\pi}{24}$

То, что она сходится, проверила, написав несложную програмку, однако не получается доказать это математически

Пыталась проверить на уменьшение разности между соседними членами:
$x_{n+1} = \sin(2x_n)$
$x_{n+2} = \sin(2\sin(2x_n))$
$x_{n+2} - x_{n+1} < x_{n+1} - x_n$
$\sin(2\sin(2x_n)) - \sin(2x_n) < \sin(2x_n) - x_n$ - но это ни к чему не приводит.

К тому же сбивает с толку тот факт, что последовательность не монотонна.

Также заметила следующую закономерность: вычисленное программой число - есть точка пересечения графиков $y = \sin(2x)$ и $y = x$ , однако объяснить это не могу.

Подскажите, пожалуйста, что предпринять?

[Legioner93]

Schwarte в сообщении #1492850 писал(а):

Также заметила следующую закономерность: вычисленное программой число - есть точка пересечения графиков $y = \sin(2x)$ и $y = x$ , однако объяснить это не могу.

Это как раз просто. Ваш предел -- неподвижная точка отображения $x \to \sin(2x)$.

[alisa-lebovski]

Это похоже на логистическое отображение. Полагаю, если в общем случае взять $x_{n+1}=\sin rx_n$, то начиная с какого-то $r$ сходиться перестанет.

А разности, наверное, лучше изучать в окрестности точки пересечения.

[Schwarte]

alisa-lebovski в сообщении #1492853 писал(а):

Это похоже на логистическое отображение. Полагаю, если в общем случае взять $x_{n+1}=\sin rx_n$, то начиная с какого-то $r$ сходиться перестанет.

Попыталась проверить: для тройки - не сходится, однако для 2,1 - сходится. Проверяла опять же с помощью написанной программы, не знаю как проверить иначе.

По идее, задача не должна решаться сложно, это 1 курс, 1 семестр (даже не математической специальности).

-- 17.11.2020, 23:04 --

Legioner93 в сообщении #1492852 писал(а):

Это как раз просто. Ваш предел -- неподвижная точка отображения $x \to \sin(2x)$.

С этим удалось разобраться, ранее не слышала таких терминов, поэтому не знала

[mihiv]

Представим $x_n=x+\varepsilon _n$ где $x$- неподвижная точка. Тогда $\varepsilon _{n+1}=2\cos (2x+\varepsilon _n)\sin \varepsilon _n$. Отсюда можно попробовать оценить $R_n=|\dfrac {\varepsilon _{n+1}}{\varepsilon _n}|$. Нужно доказать, что, начиная с некоторого $n, R_n<1.$