2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость последовательности
Сообщение17.11.2020, 20:14 


16/11/20
10
Здраствуйте, помогите пожалуйста разобраться!

Задание: исследовать сходимость последовательности
$x_{n+1} = \sin(2x_n)$
$x_1 = \frac {\pi}{24}$

То, что она сходится, проверила, написав несложную програмку, однако не получается доказать это математически

Пыталась проверить на уменьшение разности между соседними членами:
$x_{n+1} = \sin(2x_n)$
$x_{n+2} = \sin(2\sin(2x_n))$
$x_{n+2} - x_{n+1} < x_{n+1} - x_n$
$\sin(2\sin(2x_n)) - \sin(2x_n) < \sin(2x_n) - x_n$ - но это ни к чему не приводит.

К тому же сбивает с толку тот факт, что последовательность не монотонна.

Также заметила следующую закономерность: вычисленное программой число - есть точка пересечения графиков $y = \sin(2x)$ и $y = x$ , однако объяснить это не могу.

Подскажите, пожалуйста, что предпринять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость последовательности
Сообщение17.11.2020, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Schwarte в сообщении #1492850 писал(а):
Также заметила следующую закономерность: вычисленное программой число - есть точка пересечения графиков $y = \sin(2x)$ и $y = x$ , однако объяснить это не могу.

Это как раз просто. Ваш предел -- неподвижная точка отображения $x \to \sin(2x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость последовательности
Сообщение17.11.2020, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Это похоже на логистическое отображение. Полагаю, если в общем случае взять $x_{n+1}=\sin rx_n$, то начиная с какого-то $r$ сходиться перестанет.

А разности, наверное, лучше изучать в окрестности точки пересечения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость последовательности
Сообщение17.11.2020, 21:01 


16/11/20
10
alisa-lebovski в сообщении #1492853 писал(а):
Это похоже на логистическое отображение. Полагаю, если в общем случае взять $x_{n+1}=\sin rx_n$, то начиная с какого-то $r$ сходиться перестанет.

Попыталась проверить: для тройки - не сходится, однако для 2,1 - сходится. Проверяла опять же с помощью написанной программы, не знаю как проверить иначе.

По идее, задача не должна решаться сложно, это 1 курс, 1 семестр (даже не математической специальности).

-- 17.11.2020, 23:04 --

Legioner93 в сообщении #1492852 писал(а):
Это как раз просто. Ваш предел -- неподвижная точка отображения $x \to \sin(2x)$.

С этим удалось разобраться, ранее не слышала таких терминов, поэтому не знала

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость последовательности
Сообщение19.11.2020, 13:53 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Представим $x_n=x+\varepsilon _n$ где $x$- неподвижная точка. Тогда $\varepsilon _{n+1}=2\cos (2x+\varepsilon _n)\sin \varepsilon _n$. Отсюда можно попробовать оценить $R_n=|\dfrac {\varepsilon _{n+1}}{\varepsilon _n}|$. Нужно доказать, что, начиная с некоторого $n, R_n<1.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group