Пределы рекуррентной последовательности

[alisa-lebovski]

Пусть задана последовательность $x_{n+1}=x_n\sin(1/x_n)$, $x_0\neq 1/(\pi k)$. Как она может себя вести, к чему может сходиться (в зависимости от $x_0$)?

Получается, что на промежутках вида $[(\pi/2+2\pi k)^{-1},(\pi/2+2\pi k-\varepsilon_k)^{-1}))$, $k\ge 0$ она сходится к $(\pi/2+2\pi k)^{-1}$, здесь $\varepsilon_k$ определяются из условия $1-\varepsilon_k(\pi/2+2\pi k)^{-1}=\cos\varepsilon_k$. То же на зеркальных относительно нуля промежутках.

А может ли она сходиться к нулю?

[DeBill]

alisa-lebovski в сообщении #1492835 писал(а):

Получается, что на промежутках вида $[(\pi/2+2\pi k)^{-1},(\pi/2+2\pi k-\varepsilon_k)^{-1}))$, $k\ge 0$ она сходится к $(\pi/2+2\pi k)^{-1}$

И даже на несколько большем - и туда же...
Назовем его - этот бОльший промежуток - непосредственно прилегающим к той точке (его левому концу). Удалив все епосредстенно прилегающие промежутки, получим систему интервалов; каждый интервал отображается на ...куда-то там. Рассмотрим прообразы непосредственно прилегающих: и удалим их из интервалов. И т.д. Получится куча отрезков - на каждом будущее вполне конкретно описывается (после нескольких итераций, все устаканивается, и начинается монотонная сходимость к одной из указанных Вами точек)...Но вот что будет на оставшемся множестве (типа Кантор-сет)? Вот на всем нем ибудет сходимость к нулю -я думаю.

[StaticZero]

(Оффтоп)

DeBill в сообщении #1493147 писал(а):

Вот на всем нем ибудет сходимость к нулю -я думаю.

Я бы поставил на то, что если к нулю чё-то там и сходится, то на множестве из отдельных изолированных точек. Если представить, что мы начинаем пляску от точки $x_0 = 1/(\pi k) + \delta$, где $\delta$ -- малеьнкая ошибка, то в первом приближении у меня вышло, что ошибка будет расти по амплитуде с каждой итерацией, и следовательно $\delta$ должна быть довольно специального вида. Но я не хотел быть первым в теме с такими рукомахательными соображениями.

[ИСН]

alisa-lebovski в сообщении #1492835 писал(а):

То же на зеркальных относительно нуля промежутках.

На зеркальных не то же. Там будет синус около -1, и мы прыгнем в эти первые промежутки. А откуда-то ещё прыгают в те, вторые, и т.д.

И да, мне тоже кажется, что никаких областей сходимости к нулю нет. Чтобы сойтись к нулю, надо на каком-то шаге попасть в него точно. Таких точек много, но они одни.

[alisa-lebovski]

ИСН в сообщении #1493248 писал(а):

На зеркальных не то же. Там будет синус около -1, и мы прыгнем в эти первые промежутки.

Да, я это и имела в виду, неточно выразилась.

ИСН в сообщении #1493248 писал(а):

Чтобы сойтись к нулю, надо на каком-то шаге попасть в него точно.

Строго говоря, я не определила функцию в нуле. Если доопределить ее там нулем, то ноль будет от нуля и $1/(\pi k)$.