Производная произведения дробей имеет корень в I квадранте

[ArshakA]

Задача: $a_1, .., a_n$ различные комплексные числа с положительной вещественной и мнимой частями. Пусть

$$f(z) = z \prod\limits_{i = 1}^{n} \frac{z - a_i}{z - \bar{a_i}}$$

Докажите, что $f'$ имеет хотя бы один корень в первом квадранте $\{ z | \operatorname{Re}z > 0, \operatorname{Im}z > 0\}$.

Подскажите, пожалуйста, направление мыслей. Мои попытки по явному выписыванию производной доказать, что у неё будет корень выглядят бесплодно.

[Legioner93]

ArshakA в сообщении #1492766 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, направление мыслей

Хотя бы для $n = 1$ можете доказать? А для $n = 2$?

[DeBill]

ArshakA
Может, искать нули производной логарифма Вашей функции? И посмотреть на приращение аргумента этой производной вдоль границы квадранта?