Уравнение 9 степени

[daniel starodubtsev]

Доброго времени суток, хочу попросить подсказку по задаче, которую учитель дал мне "на подумать", но мне не удалось хоть как то приблизиться к решению...
Собственно, условие формулируется так: решите уравнение $x^9 - 18x^7 + 108x^5 - 222x^3 + 36x + 6 = 0$. Подсказка: $-222 = -216 - 6$
Судя по подсказке, тут предполагается какое-то нетривиальное (на мой взгляд) разложение на множители, я пытался по-разному группировать члены, но ничего не вышло.

[kotenok gav]

Красивых корней у уравнения нет. Но сделайте замену $t=x^3-3x$.

[nnosipov]

kotenok gav в сообщении #1491298 писал(а):

Но сделайте замену $t=x^3-3x$.

Опечатка: $t=x^3-6x$.

-- Пн ноя 09, 2020 13:36:56 --

daniel starodubtsev в сообщении #1491246 писал(а):

тут предполагается какое-то нетривиальное (на мой взгляд) разложение на множители

Оно есть над полем $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$.

[daniel starodubtsev]

Спасибо большое, не заметил что там точный куб выходит...

[daniel starodubtsev]

Так, ну заменив $t=x^3-6x$ получил $t^3-6t+6=0$, откуда $t=-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}$. Как теперь нормально решить уравнение на $x$? При решении тригонометрическим методом Виета выходит $x=2\sqrt{2}\cos(\frac{5\pi-\arccos(\frac{\sqrt[6]{32}+2\sqrt[6]{2}}{8})}{3} + \frac{2}{3}\pi n)$, где $n\in{0, 1, 2}$. Это можно дальше куда-то сократить?

[alisa-lebovski]

Как-то да. В Вольфраме получается точное решение исходного уравнения без арккосинусов.

[daniel starodubtsev]

Исходное у меня бесплатный вольфрам не решает, уравнение на х после нахождения t решает в комплексных числах, мне же надо только на вещественных.

[alisa-lebovski]

daniel starodubtsev в сообщении #1492862 писал(а):

уравнение на х после нахождения t решает в комплексных числах, мне же надо только на вещественных.

А, ну я тоже имела в виду решение в комплексных.

[nnosipov]

daniel starodubtsev в сообщении #1492858 писал(а):

Это можно дальше куда-то сократить?

Нельзя. Уравнение $x^3-6x+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}=0$ не имеет корней в поле $F=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ и в то же время имеет три вещественных корня. Тогда эти корни не могут быть выражены через вещественные радикалы над полем $F$.