2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Подготовка
Сообщение14.10.2020, 15:38 


01/08/19
95
Let be $\alpha,\beta,\gamma$ angles of a triangle $ABC$ and point $D$ on side $AB$.
i) Determine the maximum of function:
$f(\varphi)=\sin\varphi\cdot\sin(\gamma-\varphi)\quad \left(0\leq\varphi\leq\frac{\gamma}{2}\right).$
ii) If it's $0<\sin\alpha\sin\beta\leq max(f(\varphi)),$ prove that there is a point $D$ on side $AB$ so that $CD$ geometric mean proportional of lines $AD$ and $BD$ ( e.g. $|CD|^{2}=|AD|\cdot|BD|$ ) and converse.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подготовка
Сообщение17.11.2020, 14:17 


01/08/19
95
a) Note that $f(x)=f(\gamma-x)$ so we can also look at $x\in [0,\gamma]$. We have $f(0)=f(\gamma)=0$ and $2f(x)=2\sin x \sin (\gamma-x)=\cos(2x-\gamma)-\cos \gamma=2\cos^2 (\gamma/2 -x)-1-\cos \gamma$.
We have $\gamma/2-x\in [0,\gamma/2]$ and the form is obviously maximal if $\gamma/2-x=0 \implies x=\gamma/2$. The maximal value is $\sin^2(\gamma/2)$.

P.S. I hope this part is ok!?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подготовка
Сообщение17.11.2020, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Consider the triangle (angles $\alpha = A, \ldots, \gamma = C$)
$$
\begin{tikzpicture}
\coordinate [left] (A) at (0, 0)
\coordinate [above] (B) at (2, 2)
\coordinate [right] (C) at (3, 0)
\coordinate [left] (D) at (0.667, 0.667)
\draw (A) node[left] {$A$} -- (B) node[above] {$B$} -- (C) node[right] {$C$} -- cycle;
\path (A) -- (D) node [pos=0.5, left] {$p$}
\path (D) -- (B) node [pos=0.5, left] {$q$}
\node[left] at (D) {$D$}
\draw (C)--(D) node [pos=0.5, above] {$d$}
\end{tikzpicture}
$$

Let $\delta$ be the angle $ADC$. Using the sine theorem
$$
\frac{d}{\sin \alpha} = \frac{AC}{\sin \delta}, \qquad \frac{d}{\cos \alpha} = \frac{BC}{\sin \delta}
$$
and multiplying both
$$
\frac{d^2}{\sin \alpha \sin \beta} = \frac{AC \cdot BC}{\sin^2 \delta}
$$

On the other hand, let $\gamma_1$ be the angle $ACD$ so $\gamma_2$ is defined using $\gamma_1 + \gamma_2 = \gamma$. We use the same trick again
$$
\frac{p}{\sin \gamma_1} = \frac{AC}{\sin \delta}, \qquad \frac{q}{\sin \gamma_2} = \frac{BC}{\sin \delta}
$$
now multiplying both and inserting earlier equations yields
$$
\frac{d^2}{\sin \alpha \sin \beta}  = \frac{AC \cdot BC}{\sin^2 \delta} = \frac{pq}{\sin \gamma_1 \sin \gamma_2}
$$

So if $\sin \alpha \sin \beta$ exceeds the maximal value of $\sin \gamma_1 \sin \gamma_2$, we are in trouble :) And what is that maximal value is a completely separate question.

We can make an observation. The value of $d$ is between $\min$ and $\max$ of the pair $AC, BC$. So, if $d \geqslant \min(AC, BC) > (p + q)/2 = AB/2 \geqslant \sqrt{pq}$, there are no $D$ points such that $d = \sqrt{pq}$. Consider $AC = \min(AC, BC)$ for certainty. We have
$$
\frac{AC}{\sin \beta} = \frac{BC}{\sin \alpha} = \frac{AB}{\sin \gamma},
$$
and if $AC/AB > 1/2$, we have $\sin \beta / \sin \gamma > 1/2$. Generally speaking,
$$
\min(\sin \alpha, \sin \beta) \leqslant \frac{\sin \gamma}{2}
$$
is an additional constraint. Is it automatically fulfilled? We have
$$
\min(\sin \alpha, \sin \beta) \leqslant \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2}
$$
and $\sin (\gamma/2) \geqslant \sqrt{\sin \alpha \sin \beta} \geqslant \min(\sin \alpha, \sin \beta)$,
but here we have a $\cos$ in the right side, so it occurs to be a stronger constraint than presented!

 Профиль  
                  
 
 Re: Подготовка
Сообщение17.11.2020, 18:07 


21/05/16
4292
Аделаида
rsoldo в сообщении #1492799 писал(а):
a) Note that $f(x)=f(\gamma-x)$ so we can also look at $x\in [0,\gamma]$. We have $f(0)=f(\gamma)=0$ and $2f(x)=2\sin x \sin (\gamma-x)=\cos(2x-\gamma)-\cos \gamma=2\cos^2 (\gamma/2 -x)-1-\cos \gamma$.
We have $\gamma/2-x\in [0,\gamma/2]$ and the form is obviously maximal if $\gamma/2-x=0 \implies x=\gamma/2$. The maximal value is $\sin^2(\gamma/2)$.

P.S. I hope this part is ok!?

It is much easier. $f(\varphi)=\dfrac{\cos(\gamma-2\varphi)-\cos\gamma}2$ and maximum of $\cos(\gamma-2\varphi)$ is at $\varphi=\dfrac\gamma2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group