Кубическое уравнение, корни, приводимость и пр.

[Коровьев]

nnosipov в сообщении #1491698 писал(а):

То, что $\eta_{(P)}^3 \in \mathbb{Z}[\varepsilon]$, тоже совсем не очевидно.

Верно, не очевидно. Хотел проскочить.
Рассмотрим алгебраическое число $\[\eta _{\left( P \right)}\]$
Распишем его так:
$\[ \eta _{\left( P \right)} ^{\left( t \right)} = \varsigma _1 ^{\left( t \right)} \left( {e^{\frac{{2\pi l}}{P}g^{3k} t} } \right) + \varepsilon \varsigma _2 ^{\left( t \right)} \left( {e^{\frac{{2\pi l}}{P}g^{3k + 1} t} } \right) + \varepsilon ^2 \varsigma _3 ^{\left( t \right)} \left( {e^{\frac{{2\pi l}}{P}g^{3k + 2} t} } \right) \]$

Где при $\[t = 1,...,P - 1\]$ получим
$\[P - 1\]$ различных изоморфизмов.
По другому: $t$ может принадлежать одному из трёх видов $\[g^{3a} ,g^{3a + 1} ,g^{3a + 2}\]$
Первый вид оставляет все $\[\varsigma \]$ на своих местах, второй сдвигает их вправо по кругу, третий - влево по кругу.
Для второго и третьего случая достаточно вынести за скобки $\[\varepsilon ^2 ,\varepsilon \]$ и снова все $\[\varsigma \]$ останутся на своих местах. После возведения в куб вынесенный элемент станет равным единице и мы получим $\[P - 1\]$ одинаковых чисел, что возможно только если $\[\eta _{\left( P \right)} ^3\]$ постоянное число.
Правую часть объясню по позже.

[Коровьев]

Вернусь к объяснению первой части, так как получилось очень коряво.
(У меня нет подробных записей. Вся только контурно, пишу прямо из головы, потому и возможны бяки)
Обозначим для облегчения восприятия

$\[e^{\frac{{2\pi l}}{{P}}} = \varphi\]$

$\[\left( {P - 1} \right)/3 = h\]$
Имеем:
$\[ \eta _{\left( P \right)} ^{\left( t \right)} = \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k} t} } + \varepsilon \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k + 1} t} } + \varepsilon ^2 \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k + 2} t} } \]$
Рассмотрим некоторый элемент из первой группы при изоморфизме $\[t_0 \]$.
Пусть
$\[ g^{3k} t_0 \equiv g^{3m} \left( {\bmod P} \right) \]$
$\[ t_0 \equiv g^{3m - 3k} \left( {\bmod P} \right) \]$

тогда дугой элемент из этой группы
$\[ g^{3n} t_0 \equiv g^{3n} g^{3\left( {m - k} \right)} \equiv g^{3\left( {n + m - k} \right)} \equiv \left( {\bmod P} \right) \]$
также будет принадлежать этой группе
Любой элемент из второй группе при этом же изоморфизме
$\[ g^{3r + 1} t_0 \equiv g^{3r + 1} g^{3\left( {m - k} \right)} \equiv g^{3\left( {r + m - k} \right) + 1} \equiv \left( {\bmod P} \right) \]$
также будет принадлежать второй группе. Также и с третьей группой.
Т.е. общий вид выражения не изменится, только внутри групп элементы перемешаются.
Теперь, пусть при изоморфизме элемент первой группы станет элементом второй группы
$\[ g^{3k} t_0 \equiv g^{3m + 1} \left( {\bmod P} \right) \]$
$\[ t_0 \equiv g^{3\left( {m - k} \right) + 1} \left( {\bmod P} \right) \]$
Тогда мы увидим, что все элементы первой группы станут элементами второй группы, все элементы второй группы станут элементами третьей, а элементы третьей элементами первой.
$\[ \eta _{\left( P \right)} ^{\left( {t_0 } \right)} = \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k + 2} } } + \varepsilon \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k} } } + \varepsilon ^2 \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k + 1} } } = \]$
$\[ \varepsilon \left( {\varepsilon ^2 \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k + 2} } } + \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k} } } + \varepsilon \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k + 1} } } } \right) = \varepsilon \eta _{\left( P \right)} \]$
Далее
$\[ \left( {\eta _{\left( P \right)} ^{\left( {t_0 } \right)} } \right)^3 = \left( {\varepsilon \eta _{\left( P \right)} } \right)^3 = \eta _{\left( P \right)} ^3 \]$

Таким образом, все изоморфизмы
$\[\eta _{\left( P \right)} ^3 \]$
оказались равны. А это возможно если
$\[\eta _{\left( P \right)} ^3 \]$
есть постоянная величина.

[Коровьев]

Перейдём к доказательству $\[ \eta _{\left( P \right)} ^3 = P\left( {a + b\varepsilon } \right) \]$
Имеем, в связи с доказанным выше,
$\[\eta _{\left( P \right)} ^3 = m + n\varepsilon\]$, $\[m,n\]$ целые
Заметим в кольце ${\mathbb Q}(\[{e^{\frac{{2\pi l}}{P}} }\])$
$\[ P = \delta \left( {1 - e^{\frac{{2\pi l}}{P}} } \right)^{P - 1} \]$
где $\[\delta \]$ единица этого кольца.

Покажем, что
$\[ \eta _{\left( P \right)} ^3 \equiv 0\left( {\bmod \left( {1 - e^{\frac{{2\pi l}}{P}} } \right)} \right) \]$

$\[ \begin{array}{l} \eta _{\left( P \right)} = \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k} } } + \varepsilon \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k + 1} } } + \varepsilon ^2 \sum\limits_{k = 1}^h {\varphi ^{g^{3k + 2} } } \equiv \sum\limits_{k = 1}^h 1 + \varepsilon \sum\limits_{k = 1}^h 1 + \varepsilon ^2 \sum\limits_{k = 1}^h 1 \equiv \\ h\left( {1 + \varepsilon + \varepsilon ^2 } \right) \equiv 0\left( {\bmod \left( {1 - e^{\frac{{2\pi l}}{P}} } \right)} \right) \\ \end{array} \]$

Таким образом
$\[ m + n\varepsilon = \eta _{\left( P \right)} ^3 \equiv 0\left( {\bmod \left( {1 - e^{\frac{{2\pi l}}{P}} } \right)} \right) \]$
А это возможно, если $m,n$ делятся на $P$
(Доказательство не сложное.)

$\[ \eta _{\left( P \right)} ^3 = P\left( {a + b\varepsilon } \right) \]$

Остаётся показать, что
$\[ \left( {a + b\varepsilon } \right)\left( {a + b\varepsilon ^2 } \right) = P \]$
Имеем тождество
$\[ \eta _{\left( P \right)} \eta _{\left( P \right)} ' = \left( {\varsigma _1 + \varepsilon \varsigma _2 + \varepsilon ^2 \varsigma _3 } \right)\left( {\varsigma _1 + \varepsilon ^2 \varsigma _2 + \varepsilon \varsigma _3 } \right) = P \]$
далее
$\[ \left( {\eta _{\left( P \right)} \eta _{\left( P \right)} '} \right)^3 = \left( {\eta _{\left( P \right)} } \right)^3 \left( {\eta _{\left( P \right)} '} \right)^3 = \left( {P\left( {a + b\varepsilon } \right)} \right)\left( {P\left( {a + b\varepsilon ^2 } \right)} \right) = P^3 \]$
Отсюда и
$\[ \left( {a + b\varepsilon } \right)\left( {a + b\varepsilon ^2 } \right) = P \]$
Окончательно
$\[ \eta _{\left( P \right)} ^3 = P\left( {a + b\varepsilon } \right) \]$

[Коровьев]

$\eta _{\left( P \right)} ^3 = P\left( {a + b\varepsilon } \right)$
Число называется примарным, если оно является простым и сравнимо с 2 по модулю 3.
Покажем, что число $a + b\varepsilon$ примарное.
Так как $\[P \equiv 1\bmod 3\]$
$\[ 3 = \left( {1 - \varepsilon } \right)\left( {1 - \varepsilon ^2 } \right) \]$
Поэтому сравним по модулю $\[\left( {1 - \varepsilon } \right)\]$
$\[ \eta _{\left( P \right)} = \varsigma _1 + \varsigma _2 \varepsilon + \varsigma _3 \varepsilon ^2 \equiv \varsigma _1 + \varsigma _2 + \varsigma _3 = - 1\left( {\bmod \left( {1 - \varepsilon } \right)} \right) \]$
$\[ \eta _{\left( P \right)} ^3 = \left( {\varsigma _1 + \varsigma _2 \varepsilon + \varsigma _3 \varepsilon ^2 } \right)^3 \equiv \left( { - 1} \right)^3 \equiv 2 \equiv a + b\varepsilon \left( {\bmod \left( {1 - \varepsilon } \right)} \right) \]$
Следовательно, число $\[a + b\varepsilon\]$ примарное.

[Коровьев]

Предложение 1.
Для любого простого числа $\[\alpha = m + n\varepsilon \]$ существует такое единственное целое число $k=0,1,2$, что $\[\varepsilon ^k \alpha\]$ примарное.
Следствие 1.
Любое число $\[\alpha = m + n\varepsilon \]$ с целыми коэффициентами можно разложить в произведение простых примарных чисел с точностью до $\[\varepsilon ^k \]$, где $k=0,1,2$.
Здесь надо просто учесть, что $\[\varepsilon ^{3n} = 1\]$

Предложение 2.
Пусть простое
$\[ P = \left( {a + b\varepsilon } \right)\left( {a + b\varepsilon ^2 } \right) \]$
и
$\[ \left( {m + n\varepsilon } \right)\left( {m + n\varepsilon ^2 } \right) = P^3 c \]$
$\[m,n,c\]$ целые.
Тогда
$\[{m + n\varepsilon }\]$
делится либо на $\[P\left( {a + b\varepsilon } \right)\]$, либо на $\[\left( {a + b\varepsilon } \right)^3\]$

-- Сб ноя 14, 2020 23:21:34 --

Пусть дано
$\[x^3 + px + q = 0,D = - 4p^3 - 27q^2 = d^2 \]$
с целыми $p,q,D,d$
Преобразуем немного формулу Кардано, с учётом того, дискриминант есть квадрат целого числа.
$\[ x = \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{p}{3}} \right)^3 } }} + \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} - \sqrt {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{p}{3}} \right)^3 } }} = \]$

$\[ \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \frac{{\sqrt { - 3D} }}{{2 \cdot 3^2 }}}} + \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} - \frac{{\sqrt { - 3D} }}{{2 \cdot 3^2 }}}} = \]$

$\[ \sqrt[3]{{\frac{{ - 9q + d\sqrt { - 3} }}{{2 \cdot 3^2 }}}} + \sqrt[3]{{\frac{{ - 9q - d\sqrt { - 3} }}{{2 \cdot 3^2 }}}} = \]$

$\[ \frac{1}{{\sqrt[3]{{2 \cdot 9}}}}\left( {\sqrt[3]{{ - 9q + d\left( {2\varepsilon + 1} \right)}} + \sqrt[3]{{ - 9q + d\left( {2\varepsilon ^2 + 1} \right)}}} \right) \]$

Получим
$\[ x = \frac{{\sqrt[3]{{\left( {d - 9q} \right) + 2d\varepsilon }} + \sqrt[3]{{\left( {d - 9q} \right) + 2d\varepsilon ^2 }}}}{{\sqrt[3]{{18}}}} \]$

[Коровьев]

Разложим подкоренные выражения на простые множители в кольце ${\mathbb Q}\[\left( {e^{\frac{{2\pi l}}{3}} } \right)\]$.
Разложение в этом кольце однозначно с точностью до $\[ \varepsilon ,\varepsilon ^2 \]$
Каждое простое число преобразуем в примарное, в соответствии с Предложением 1.
$\[ \left( {d - 9q} \right) + 2d\varepsilon = \varepsilon ^k \prod\limits_{i = 1}^h {\left( {a_i + b_i \varepsilon } \right)} \]$
Возможно с повторами.
Каждое примарное представим в виде
$\[ a_i + b_i \varepsilon = \frac{{\eta _{\left( {P_i } \right)} ^3 }}{{P_i }} \]$
Получим:
$\[ \left( {d - 9q} \right) + 2d\varepsilon = \varepsilon ^k \prod\limits_{i = 1}^h {\frac{{\eta _{\left( {P_i } \right)} ^3 }}{{P_i }}} \]$
Аналогично и для второго выражения.
$\[ \left( {d - 9q} \right) + 2d\varepsilon ^2 = \varepsilon ^{2k} \prod\limits_{i = 1}^h {\frac{{\eta '_{\left( {P_i } \right)} ^3 }}{{P_i }}} \]$
Здесь $\[\eta '_{\left( {P_i } \right)}\]$ сопряжённое $\[\eta_{\left( {P_i } \right)}\]$
Подставим полученные выражения в исходное значение, получим:
$\[ x = \frac{{\sqrt[3]{{\varepsilon ^k }}\prod\limits_{i = 1}^h {\eta _{\left( {P_i } \right)} } + \sqrt[3]{{\varepsilon ^{2k} }}\prod\limits_{i = 1}^h {\eta '_{\left( {P_i } \right)} } }}{{\sqrt[3]{{18\prod\limits_{i = 1}^h {P_i } }}}} \]$

[Коровьев]

Рассмотрим полученное выражение.
Так как произведение подкоренных выражений
$\[ \left( {\left( {d - 9q} \right) + 2d\varepsilon } \right)\left( {\left( {d - 9q} \right) + 2d\varepsilon ^2 } \right) = - 12p^3 \]$,
то $\[ \prod\limits_{i = 1}^h {P_i } = c^3 \]$
Таким образом все круговые поля участвующих в решении исходного уравнения полностью определены коэффициентом при $x$
Кроме того $\[ \sqrt[3]{{\varepsilon ^k }} = e^{\frac{{2\pi kl}}{9}}\]$
Получим:
$\[ x = \frac{1}{{c\sqrt[3]{{18}}}}\left( {e^{\frac{{2\pi kl}}{9}} \prod\limits_{i = 1}^h {\eta _{\left( {P_i } \right)} } + e^{\frac{{4\pi kl}}{9}} \prod\limits_{i = 1}^h {\eta '_{\left( {P_i } \right)} } } \right) \]$