Поверхностная плотность

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Помогите разобраться с размерностью. Задача:
По диску радиусом $R=1 $ см распределен заряд, причем поверхностная плотность заряда изменяется вдоль радиальной координаты по закону: $\sigma (r)= \frac{20}{1+r^2}$ [мкКл/кв.м] , где значения $r$ задаются в сантиметрах. Найти заряд пластины.

Если понимать, что заряд распределен осесимметрично от центра: $\sigma (r)= \frac{\sigma_0}{1+r^2}$ , где: $\sigma_0 = 20 $ [мкКл/кв.м] , то для сохранения размерности $r$ должна быть безразмерной, но в условии $r$ в см, или чего-то не понимаю?

[Pphantom]

Stensen в сообщении #1491904 писал(а):

или чего-то не понимаю?

Не понимаете. Если пытаться соотносить размерности с отдельными частями выражения, то размерность числителя - заряд, а знаменателя - площадь (и единица там - тоже размерная величина). Но лучше так не делать, ибо ничего полезного это не дает, а использовать численное значение функции от $r$, размерность которого вам дана в условии.

[EUgeneUS]

Stensen в сообщении #1491904 писал(а):

$\sigma (r)= \frac{20}{1+r^2}$ [мкКл/кв.м] , где значения $r$ задаются в сантиметрах.

На входе сантиметры, на выходе что-то там на метры квадратные. Где Вы такие задачи берете? Там Вас специально запутать хотят?

Pphantom в сообщении #1491905 писал(а):

Но лучше так не делать, ибо ничего полезного это не дает, а использовать численное значение функции от $r$, размерность которого вам дана в условии.

Посчитаем заряд, чисто формально:
$Q = 2 \pi \int\limits_{0}^{R} \frac{20}{1+r^2}r dr$

Если и $R$, и $r$ везде считать в сантиметрах будет ошибка.

Я бы перевел выражение для $\sigma(r)$ в [Кл/кв.см], и только после этого везде считал в сантиметрах, а заряд в кулонах (в конце может будет удобнее перевести в нКл или пКл)

[Утундрий]

Stensen в сообщении #1491904 писал(а):

$\sigma (r)= \frac{20}{1+r^2}$ [мкКл/кв.м] , где значения $r$ задаются в сантиметрах.

Если считать единицу размерной, то получится неправильная размерность результата. Следовательно здесь имеется в виду

$$\sigma = \frac{{\sigma _0 }}{{1 + \left( {{r \mathord{\left/ {\vphantom {r {r_{ref} }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {r_{ref} }}} \right)^2 }}, \qquad \text{где} ~ r_{ref} = 1 \text{см.}$$

[Stensen]

Всем спасибо, вразумился

[Pphantom]

EUgeneUS в сообщении #1491920 писал(а):

Где Вы такие задачи берете? Там Вас специально запутать хотят?

Для инженерных приложений это в общем-то вполне обычное явление. Не самое правильное, это да.

[EUgeneUS]

Pphantom
Для инженерных приложений - да.
Но там, как правило, подобные формулы предназначены для получения численного результата сразу. А не для неких символьных выводов, "в буквах".
А тут, что можно _сразу_ сделать с поверхностной плотностью заряда? Ну посчитали её в какой-то точке, дальше что?
ИМХО, это какие-то учебные задачи на тренировку по приведению размерностей.

-- 13.11.2020, 08:05 --

Утундрий в сообщении #1491922 писал(а):

Если считать единицу размерной, то получится неправильная размерность результата.

Ваше представление с обезразмериванием знаменателя весьма наглядно и удобно, в нём размерность $20$ совпадает с размерностью результата.
Но, FGJ, в этой формуле $20$ в любом случае размерный множитель. Его размерность зависит от того, какую размерность припишем знаменателю, а размерность результата должна быть в любом случае правильной.

[DimaM]

Stensen
Полезно записать в таком виде

$$\sigma(r)=\frac{\sigma_0}{1+(r/R)^2}.$$

Здесь $\sigma_0=20$ мкКл/кв.м, $R=1$ см.
Дальше все нормально интегрируется, и для получения численного ответа необходимо будет подставить $\sigma_0$ и $R$, согласовав единицы измерения.

[EUgeneUS]

DimaM

(FGJ)

DimaM в сообщении #1491960 писал(а):

Полезно записать в таком виде

$$\sigma(r)=\frac{\sigma_0}{1+(r/R)^2}.$$

Утундрий в сообщении #1491922 писал(а):

Следовательно здесь имеется в виду

$$\sigma = \frac{{\sigma _0 }}{{1 + \left( {{r \mathord{\left/ {\vphantom {r {r_{ref} }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {r_{ref} }}} \right)^2 }}, \qquad \text{где} ~ r_{ref} = 1 \text{см.}$$

[Утундрий]

(Оффтоп)

Наоборот.

[DimaM]

EUgeneUS
Утундрий
Был невнимателен, в чем раскаиваюсь.