простой вопрос по теории упругости, но все же...

[timn]

Можно ли описывать изгиб трубы, закрепленной на одном конце (к второму приложена сгибающая сила), уравнением

$$ EI\frac{{\partial ^4 X}} {{\partial z^4 }} - \rho S\frac{{\partial ^2 X}} {{\partial t^2 }} = 0 $$

, где

$$ I = \pi \cdot r_0 ^3 \cdot d $$

(

$$r_0 ^3$$

- внутренний радиус,

$$ d < < r_0 $$

- толщина стенки).
заранее спасибо

[An-Gallad-El]

Вы написали уравнение колебаний струны, если Вы можете представить Вашу трубу как стержень, а Ваша "сгибающая" сила - это поперечная сила, то введением соответствующих граничных условий можете использовать и это уравнение...

[Munin]

An-Gallad-El в сообщении #148436 писал(а):

Вы написали уравнение колебаний струны

Там четвёртая производная. См. предыдущую тему: http://dxdy.ru/topic16069.html

timn
А чем труба от стержня отличается? Я слышал, внутренности в стержне на изгиб и кручение не нагружены.

[Парджеттер]

Munin в сообщении #148445 писал(а):

Я слышал, внутренности в стержне на изгиб и кручение не нагружены.

Это как?

[Munin]

Это огрублённо. Одна стенка стержня при изгибе сжата, другая растянута, а в середине ни то ни сё. То самое, за ради чего сопроматчики стали пользоваться фермами, трубами, двутавровыми профилями и т. п. Если я как-то не так сформулировал, скажите.

[ae]

Вроде правильно, я только проверил бы знак перед вторым членом. Я бы написал плюс, но это вопрос выбора системы координат.

Добавлено спустя 2 минуты 2 секунды:

Munin в сообщении #148445 писал(а):

А чем труба от стержня отличается?

Труба это один из частных видов стержней, если мы рассматриваем ее изгиб. А если будем рассматривать ее выпучивание под действием внутреннего давления - тогда она будет уже оболочкой.

Добавлено спустя 1 минуту 20 секунд:

Munin в сообщении #148467 писал(а):

Если я как-то не так сформулировал, скажите

Если грубо, то все так и есть.

[Munin]

ae в сообщении #149176 писал(а):

Если грубо, то все так и есть.

Спасибо. Я вот тут подумал, что при кручении отличие трубы от стержня может дать эффект второго порядка малости. Или его на практике никогда не учитывают (кручение само по себе достаточно мало)?

[Zai]

timn писал(а):

$$ EI\frac{{\partial ^4 X}} {{\partial z^4 }} - \rho S\frac{{\partial ^2 X}} {{\partial t^2 }} = 0 $

Правильное уравнение
$$ EI\frac{{\partial ^4 X}} {{\partial z^4 }} + \rho S\frac{{\partial ^2 X}} {{\partial t^2 }} = 0 $

[ae]

Munin в сообщении #149233 писал(а):

при кручении отличие трубы от стержня может дать эффект второго порядка малости

В задачах на кручение и изгиб трубу и рассматривают как стержень соответствующей формы сечения (кольцо). В задачах на изгиб кручением пренебрегают и наоборот.
Отличие трубы от стержня в том, что иногда труба ведет себя как оболочка, т.е. выпучивается. Например, при больших изгибах, трубе может стать энергетически выгоднее не изгибаться, а выпучиваться на некоторых участках.
Главное предположение технической теории стрержней - в линейной зависимости деформации растяжения/сжатия от расстояния до средней линии (которая проходит через "центры масс" сечения). Для трубы - это ее ось. Если для трубы выполняется предположение о линейной зависимости деформации от расстояния до оси с коэфф. пропорциональности равном кривизне изгиба этой оси, то она и есть самый обычный стержень. Вроде, все это вполне подтверждается опытом при малых деформациях, пока не происходит выпучивания.

[Munin]

ae в сообщении #149298 писал(а):

Главное предположение технической теории стрержней - в линейной зависимости деформации растяжения/сжатия от расстояния до средней линии (которая проходит через "центры масс" сечения).

Ага, значит, эффектом второго порядка пренебрегают. Я имел в виду, что при кручении цилиндра его образующие на поверхности удлиняются и испытывают растяжение, а центр соответственно будет испытывать сжатие (если внешние условия задают нулевую растягивающую силу). А в трубе этого эффекта не происходит. Но это сжатие по расстоянию от средней линии квадратично.