Корректность определения производной

[eumak]

меня больше интересует другое

для функции $x^2+\frac{|x|}{x} $ посчитанные предел по первой и формуле даст одинаковый результат, вот что смущает, функция терпит разрыв, а пределы приращений прекрасно существуют и равны друг другу, а вот по второй формуле мы получим то, что должно быть $\lim\limits\frac{((x+\Delta x)^2-1)-((x-\Delta x)^2+1) }{2\Delta x}=1-\frac{1}{\Delta x}$

[Nemiroff]

Что вам надо? Сформулируйте вменяемо.

[artempalkin]

eumak в сообщении #1491675 писал(а):

меня больше интересует другое

Да, но вы никак не комментируете ответы на ваш прямой вопрос "почему эта производная не закрепилась".

eumak в сообщении #1491675 писал(а):

для функции $x^2+\frac{|x|}{x} $ посчитанные предел по первой и формуле даст одинаковый результат,

А чему равно значение этой функции в нуле? Я не буду придираться к тому, что оно не определено. Доопределите его, как хотите, а потом рассмотрите левые и правые производные.

(Оффтоп)

Я на всякий случай уточню, чтобы вы шли в правильном направлении, что для того, чтобы посчитать производную по обычной формуле (левую и правую в том числе), вам нужно в $\lim\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ подставить конкретное значение $f(x)$, то есть функция у вас должна быть определена в точке $x$. В нашем случае это точка $0$

[mihaild]

eumak в сообщении #1491675 писал(а):

для функции $x^2+\frac{|x|}{x} $ посчитанные предел по первой и формуле даст одинаковый результат

Первая формула - это нормальное определение производной $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$? Чтобы по ней считать, нужно сказать, чему равно значение функции в нуле. Ну и что бы мы про это не сказали, предел существовать не будет.

[Verkhovtsev]

eumak в сообщении #1491675 писал(а):

а вот по второй формуле мы получим то, что должно быть $\lim\limits\frac{((x+\Delta x)^2-1)-((x-\Delta x)^2+1) }{2\Delta x}=1+\frac{1}{\Delta x}$

У вас же есть идея, как должно быть. Вас смущает, что первая формула в этом случае не работает? А зачем пытаться класть ее в прокрустово ложе стандартного определения производной? Можно же определить 100500 своих определений производной, чтобы выразить ее технически. Идея первична. Единственное, о чем я бы беспокоился на вашем месте, это чтобы оная не превратилась во что-то вроде догмата и не мешала, к примеру, узнавать что-то об обычной производной, ведь у обычной много своих достоинств: даже, как выше отметили, теорема о среднем для одномерного случая имеется.

(Оффтоп)

(для многомерного случая все-таки не такая хорошая теорема о среднем для стандарт. производной).

[eumak]

Nemiroff в сообщении #1491677 писал(а):

Что вам надо? Сформулируйте вменяемо.

оценить разницу того и другого подхода к вычислению производной, уже все понял, спасибо за подробные ответы

[kmpl]

eumak в сообщении #1491683 писал(а):

оценить разницу того и другого подхода к вычислению производной

А в той Вашей первой теме, которая уехала в карантин, у Вас были совсем другие цели. Рассмотрите еще раз ту параболу со смещенными ветвями и детально разберитесь с ней: где там предел функции, где предел отношения приращений, односторонние пределы (с которых все и началось) где производная, в чем разница производной, которая число и производной, которая функция и т.д. Там Вы явно плавали. Это занятие будет более продуктивно.

[Lia]

eumak в сообщении #1491675 писал(а):

для функции $x^2+\frac{|x|}{x} $ посчитанные предел по первой и формуле даст одинаковый результат, вот что смущает,

Какой результат?

eumak в сообщении #1491675 писал(а):

а вот по второй формуле мы получим то, что должно быть $\lim\limits\frac{((x+\Delta x)^2-1)-((x-\Delta x)^2+1) }{2\Delta x}=1-\frac{1}{\Delta x}$

Во-первых, кому должно. А во-вторых, откуда взялся предел (при каком бы $x$ Вы его ни считали, он не такой), и почему Вы его не вычислили. Или посчитали, что вычислили.