Корректность определения производной

[eumak]

Вопрос для экспертов, кто реально разбирается в истории математики.

Почему для определения производной был выбран односторонний предел:

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Тогда как более корректно использовать двусторонний:

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}$

Например, при использовании одностороннего предела для приращения функций типа $x^{\frac{|x|}{x}+1}$ мы получим равные значения слева и справа от точки $x_0=0$:

$f(x)=1, x<0; f'(x)_{x\rightarrow-0}=0$
$f(x)=x^2, x>0; f'(x)_{x\rightarrow+0}=0$

Для функций, терпящих скачок, например $f(x)=\{x\}$ (дробная часть $x$) также, будет получаться, что пределы для приращения справа и слева от точки скачка существуют и равны, хотя функция терпит разрыв.

Тогда как двусторонний предел учитывает, что в точке разрыва производной не существует. Также для функций, которые задается кусочно, на отрезке, также автоматически получается, что мы не можем вычислить производную в граничных точках отрезка, тогда как по классическому определению односторонние пределы на границах отрезка спокойно могут существовать.

[kmpl]

eumak в сообщении #1491626 писал(а):

Почему для определения производной был выбран односторонний предел:
$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

У Вас немного необычная трактовка словосочетания "односторонний предел".

eumak в сообщении #1491626 писал(а):

Тогда как более корректно использовать двусторонний:
$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}$

Не забывайте, что приращение $\Delta x$ может быть и отрицательным.

[eumak]

Да, именно, поэтому возникает неоднозначность с вычислением предела, когда он раздваивается для $x<0$ и $x>0$. Попробуйте например, посчитать производную для $|x|$, используя первый вариант и второй.

[Lia]

eumak
Да. Это разные пределы. Почему на основании этого делается вывод о некорректности определения производной?
В нем все вполне корректно, корректность не зависит от того, что нам хотелось бы так назвать.

[artempalkin]

eumak в сообщении #1491626 писал(а):

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}$

Я так понимаю, в таком случае мы будем получать среднее арифметическое левого и правого пределов (когда они существуют). Если нам нужно оно, почему бы нет? Это похоже на некоторое обобщение производной, как метод Чезаро для рядов и прочее. Другой вопрос, что, если левого и правого пределов нет, мы можем получать всякие интересные вещи (например, такая обобщенная производная для функции $y=\frac 1{|x|}$ будет равна $0$ в нуле, что имеет слабый физический, геометрический, математический смысл).

[eumak]

Никто не говорит о некорректности, в случае классического предела видна односторонность и как вы уже сами заметили, для разных знаков $\Delta x$, будут разные пределы. Во втором случае такой неоднозначности не возникает, предел не зависит от знака $\Delta x$ и не берется в точках разрыва, из чего автоматически следует, что производная там не существует, а не то что она имеет там два разных значения.

[artempalkin]

eumak в сообщении #1491635 писал(а):

Во втором случае такой неоднозначности не возникает, предел не зависит от знака $\Delta x$ и не берется в точках разрыва, из чего автоматически следует, что производная там не существует, а не то что она имеет там два разных значения.

Даже если взять ваш пример с $y=|x|$, то какой смысл имеет равенство нулю вашей обобщенной производной в нуле?

Если вы построите график обобщенной производной от этой функции, в получите чисто $y'_{ob}(x)=sgn(x)$. Получается, что производная как была разрывной, так и осталась, только вы заменили отсутствие у нее значения в $0$ на нулевое значение. Но теперь мы не знаем смысла нулевого значения. Раньше (с обычной производной) это вполне определенно бы означало, что мы можем провести горизонтальную касательную к функции, гладкость функции в некоторой окрестности. С вашей обобщенной производной эти свойства исчезают :)

[kmpl]

eumak в сообщении #1491626 писал(а):

поэтому возникает неоднозначность с вычислением предела

Если правильно помнить общепринятый смысл произносимых слов, то никакой неоднозначности не возникает. Но ведь первоначально у Вас вопрос был не об этом. Вас вроде бы смущало, как могут существовать и быть равными 2 односторонних предела некоторой функции в некоторой точке вместе с тем, что сама функция не имеет предела в этой точке. Ответ - никак. Есть соответствующая теорема про связь предела функции в точке и односторонних пределов функции в этой точке при условии, что эта точка является двусторонней предельной для области определения функции. Ваша ошибка была всего лишь в том, что Вы неправильно посчитали односторонние пределы и сделали ложный вывод, что они равны.

[Lia]

eumak в сообщении #1491635 писал(а):

Никто не говорит о некорректности,

А заголовок темы тогда зачем?

eumak в сообщении #1491635 писал(а):

в случае классического предела видна односторонность и как вы уже сами заметили, для разных знаков $\Delta x$, будут разные пределы.

Этого я не замечала. Это Вы мне приписали.

eumak в сообщении #1491635 писал(а):

Во втором случае такой неоднозначности не возникает, предел не зависит от знака $\Delta x$ и не берется в точках разрыва,

Там не написано, что он не берется в точках разрыва. Может, и берется, по умолчанию. Существует ли - другой вопрос.

eumak в сообщении #1491635 писал(а):

из чего автоматически следует, что производная там не существует,

Не следует. Потому что это не определение производной.

[eumak]

Цитата:

Если вы построите график обобщенной производной от этой функции, в получите чисто $y'_{ob}(x)=sgn(x)$.

Не ноль, и не среднее значение, эта функция в нуле неопределена, предел не сходится в нуле, то есть не нулевое значение, а то, что производная там не существует автоматически.

[artempalkin]

eumak в сообщении #1491642 писал(а):

Не ноль, и не среднее значение, эта функция в нуле неопределена, предел не сходится в нуле, то есть не нулевое значение, а то, что производная там не существует автоматически.

Ничего не понял.

Ваша "обобщенная производная" будет давать среднее значение левой и правой производной в точках, где эти производные существуют. С этим вы согласны или нет? Например, для функции $y=|x|$ у вас получается в нуле ноль, потому что левая производная равна $-1$, а правая $1$.

[eumak]

там не будет среднее, мы считаем не среднее от пределов, а предел от среднего слева и справа

$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0} \frac{|x+\Delta x|-|x-\Delta x|}{2\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{x}{\Delta x}$

[mihaild]

eumak в сообщении #1491671 писал(а):

$\lim\limts_{\Delta x\rightarrow0} \frac{|x+\Delta x|-|x-\Delta x|}{2x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2x}{\Delta x}$

Ой, а подставьте $x = 3$ и $\Delta x = 1$ в выражения под пределом слева и справа.

[artempalkin]

eumak в сообщении #1491671 писал(а):

$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0} \frac{|x+\Delta x|-|x-\Delta x|}{2\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{x}{\Delta x}$

Вы рассматриваете функцию $|x|$? Это вы для каких значения $x$ пишете? На общую формулу не похоже.

$\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac {f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}=\frac 12\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac {f(x+\Delta x)-f(x)+f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}=\\=\frac 12\left(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac {f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}\right)=\frac 12 (f'(x+0)+f'(x-0))$


если односторонние производные существуют

[Nemiroff]

eumak в сообщении #1491671 писал(а):

там не будет среднее, мы считаем не среднее от пределов, а предел от среднего слева и справа

Там будет среднее -- ваша конструкция называется symmetric derivative и вычисляет среднее арифметическое левой производной и правой производной в точке, если эти односторонние производные существуют.

Конструкция неудобна -- наличие симметричной производной не влечет непрерывность в точке (и даже хоть сколько-нибудь приличное поведение в точке -- например $1/x^2$ не ограничена в окрестности нуля, функция Дирихле всюду разрывна и т.п.), теорема о среднем пропадает. Неудобная штука, короче.