Периодическая последовательность

[RIP]

Пусть $\left(a_n\right)_{n=1}^{\infty}$ — чисто периодическая последовательность, $A=\left\{a_n : n\in\mathbb{N}\right\}$ — множество её значений. Для каждого $a\in A$ пусть $T_a$ — наименьшее натуральное, такое что из $a_n=a$ следует $a_{n+T_a}=a$.
Может ли быть так, что все $T_a$ различны и ни одно из них не является периодом последовательности?

[Руст]

Пусть $T$ - период последовательности и $T_a$ период значений a, Тогда $(T_a,T)$ так же период значений $T_a$.
Значит $1<T_a|T$ и $\sum_a \frac{1}{T_a}=1$ При этом множество значений $a$ и $b$ так же не должны пересекаться, что приводит
к случаю, что один период делит другой. При некотором упорядочении $1<T_1|T_2|...|T$.
Следовательно невозможно $\sum_i \frac{1}{T_i}=1$.

[RIP]

Руст в сообщении #1491500 писал(а):

При этом множество значений $a$ и $b$ так же не должны пересекаться, что приводит
к случаю, что один период делит другой. При некотором упорядочении $1<T_1|T_2|...|T$.

Вот этот момент не очень понятен.

[mihaild]

Руст в сообщении #1491500 писал(а):

что приводит к случаю, что один период делит другой

Почему? Скажем $a$ стоит на позициях $4k$, а $b$ - на позициях $6k + 1$.

[RIP]

Руст в сообщении #1491500 писал(а):

$\sum_a \frac{1}{T_a}=1$

Кстати, это неверно.

[maxal]

Mirsky–Newman theorem ?

[RIP]

maxal в сообщении #1491548 писал(а):

Mirsky–Newman theorem ?

Не совсем. Никто ж не говорит, что множество $\left\{n : a_n=a\right\}$ является арифметической прогрессией.

[Verkhovtsev]

$a_1\equiv 0, 6 \pmod {12},$
$a_2\equiv 2, 8 \pmod {12},$
$a_3\equiv 4, 10 \pmod {12},$
$a_4\equiv 1, 5, 9 \pmod {12},$
$a_5\equiv 3, 7, 11 \pmod {12}.$

$T_{a_1}=T_{a_2}=T_{a_3}=6, T_{a_4}=T_{a_5}=4.$
Период последовательности $T=12.$
Получите, распишитесь

[worm2]

Verkhovtsev, это так не работает

RIP в сообщении #1491495 писал(а):

все $T_a$ различны

[Verkhovtsev]

[waxtep]

(после долгих невразумительных попыток построить пример) Кажется, все таки нет.
Далее правдоподобные соображения (не доказательство), - из условия следует, что:

а. Все $T_i$ не могут быть степенями одного и того же натурального числа
б. $\forall i,j \gcd(T_i,T_j)>1$
в. $\gcd(\{T_i\})=1$

Тогда, среди $T_i$ должна присутствовать такая тройка (с всего двумя $T_i$ не получится точно):

$$\{ap,bpq,cq\},p,q\in\mathbb{P},a,b,c\in\mathbb{N},a\bot q,c\bot p$$

Но тогда любая попытка расставить "единички, двойки и тройки" приведет к необходимости рассматривать "запрещенные" (уже занятые) позиции вида $np\bmod q$, т.е. все места для "троек" окажутся уже занятыми ...

[RIP]

waxtep в сообщении #1491945 писал(а):

после долгих невразумительных попыток построить пример

Рано сдались. Пример есть.

[Null]

С периодом 30? Перебирать лень, а принцип не строиться. Надо разбить на множества с периодами $6,10,15$.

[mihaild]

Null в сообщении #1492023 писал(а):

Надо разбить на множества с периодами $6,10,15$.

Перебрал, таких нет.

[waxtep]

RIP в сообщении #1492020 писал(а):

Рано сдались. Пример есть.

Отлично, поборемся

mihaild в сообщении #1492033 писал(а):

Перебрал, таких нет.

Кажется и общий множитель должен быть составным, последний пример, на котором я (временно) сдался - $T=900,T_i\in\{36,100,225\}$