Infinite sum involving Fibonacci numbers

[lel0lel]

Последовательность $\{a\}$ определена следующим образом: $a_{k+2}=7a_{k+1}-a_k+4$, $a_0=1, a_1=10.$
Вычислите сумму

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{F_{2n-1}^2+F_{2n+1}^2+a_k}$$

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1491245 писал(а):

Вычислите сумму

С индексами там не все в порядке. Отредактируйте, плиз.

[lel0lel]

Давайте суммировать с единицы или доопределим $F_{-i}=(-1)^{i+1}F_i$, тогда $F_{-1}=1$. В обоих случаях ответы получатся сравнимые по лаконичности.
Сейчас подумалось быть может вы про индекс $k$. В этом ошибки нет. Нужно вычислить указанную сумму $S(k)$ для любого целого $k$, т. е. получить замкнутую формулу.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1491381 писал(а):

Сейчас подумалось быть может вы про индекс $k$. В этом ошибки нет.

Действительно, в первую очередь про это подумал.

[RIP]

Пусть $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — золотое сечение, так что $F_n=\frac{\varphi^n-(-1/\varphi)^n}{\sqrt{5}}$, $a_k=\frac{3}{5}\left(\varphi^{4k+2}+\varphi^{-4k-2}\right)-\frac{4}{5}=3F_{2n-2k-1}F_{2n+2k+1}-F_{2n-1}^2-F_{2n+1}^2$. Тогда

$$\frac{1}{F_{2n-1}^2+F_{2n+1}^2+a_k}=\frac{1}{3F_{2n-2k-1}F_{2n+2k+1}}=\frac{\sqrt{5}}{3F_{4k+2}}\left(\frac{1}{\varphi^{4n-4k-2}+1}-\frac{1}{\varphi^{4n+4k+2}+1}\right),$$

откуда

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{F_{2n-1}^2+F_{2n+1}^2+a_k}=\frac{\sqrt{5}}{3F_{4k+2}}\sum_{n=0}^{2k}\frac{1}{\varphi^{4n-4k-2}+1}=\frac{\sqrt{5}}{3F_{4k+2}}\left(\frac{\varphi^{2k+1}}{F_{2k+1}\sqrt{5}}+k\right).$$

[lel0lel]

Красиво. Думал задачка дольше продержится.
Ещё вариант ответа:

$$S(k)=\frac{1}{2(a_k+2)}+\frac{(2k+1)\sqrt{5}}{b_k},$$

$b_0=6, b_1=48, b_i=7b_{i-1}-b_{i-2}$.