Неотрицательная определенность кв. форм

[artempalkin]

Вопрос, мучающий меня с детства.

Чтобы КФ была положительно определена (буду всюду говорить про положительную определенность, т.к. с отрицательной все аналогично) необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры у матрицы КФ были больше нуля. С этим все ясно, это доказывается по Лагранжу и пр..

Интереснее с неотрицательной определенностью, которая не сильно хуже положительной определенности, я так понимаю (например, неотрицательная определенность гессиана точно так же дает существование экстремума при выполненном необходимом условии, да ведь?).

Пусть $A(x)$ - КФ, $A$ - ее матрица в каком-то базисе и $\operatorname{rank} A=r<n$. Тогда если, например, $r$ первых угловых миноров больше нуля, тогда, конечно, КФ будет неотрицательно определенной. Но если среди них попадается нулевой? Что тогда делать? Наверное, могут быть какие-то более сложные случаи, и все еще КФ будет неотрицательно определенной.

Понятно, что можно brute force привести ее к каноническому виду и все станет понятно. Но нет ли другого способа попроще?

[Otta]

artempalkin в сообщении #1491315 писал(а):

неотрицательная определенность гессиана точно так же дает существование экстремума при выполненном необходимом условии, да ведь?

Нет. Необязательно.
Остальное по-прежнему интересует?

[bot]

Otta в сообщении #1491317 писал(а):

Нет. Необязательно.

Например, в нуле гессианы функций $x^3+y^3$ и $x^4+y^4$ и не положительны и неотрицательны. В одном случае экстремум есть, в другом нет.

[Otta]

bot в сообщении #1491341 писал(а):

и не положительны и неотрицательны.

Почему вдруг? И неположительны, и неотрицательны. Нулевые оба.
ТС (вроде) не об этом, а о полуопределенных гессианах.

[artempalkin]

Otta в сообщении #1491317 писал(а):

Нет. Необязательно.

Да, этот вопрос меня тоже с детства мучит, потому что я нигде не нашел, когда искал, общего метода исследования достаточного условия эстремума в случае, если хотя бы один из угловых миноров гессиана (точнее, матрицы Гесса, наверное) равен нулю.

В таком случае, конечно, человек, знакомый со свойствами матриц КФ, может привести ее к каноническому виду. Если в этом случае форма получится неотрицательно определенной, ммм, получается, что делать? Но, наверное, это вопрос в другую тему.

bot в сообщении #1491341 писал(а):

Остальное по-прежнему интересует?

Да, как определить неотрицательную определенность КФ, не приводя к каноническому виду?

-- 09.11.2020, 14:40 --

bot в сообщении #1491341 писал(а):

Например, в нуле гессианы функций $x^3+y^3$ и $x^4+y^4$ и не положительны и неотрицательны. В одном случае экстремум есть, в другом нет.

Да, в целом пример хороший. Конечно, нулевой случай - совсем какой-то вырожденный, но вполне себе "неотрицательно определенный", так что, очевидно, может быть по-разному. Но это все-таки несколько другая тема.

[Otta]

artempalkin в сообщении #1491353 писал(а):

Да, как определить неотрицательную определенность КФ, не приводя к каноническому виду?

Есть критерий Сильвестра неотрицательной определенности.
Но я заблудилась. Потому что одно дело этот вопрос и совсем другое - вопрос об экстремумах.

-- 09.11.2020, 16:47 --

artempalkin в сообщении #1491353 писал(а):

Да, в целом пример хороший.

Пример хороший, но на другую тему. В первом все производные, вплоть до третьих, нулевые, первые ненулевые - третьи, и значит, экстремума нет. (Очевидно, что его и так нет, я пытаюсь подчеркнуть, что иллюстрация не к тому относится). Во втором - все ненулевые, вплоть до четвертых. 4-линейная форма для четвертых производных строго положительно определена. И значит, это точка минимума. (Что, правда, здесь ясно из других соображений).

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1491353 писал(а):

Да, как определить неотрицательную определенность КФ, не приводя к каноническому виду?

Ну, например, перезадать квадратичную форму другой матрицей, предварительно найдя ядро. У этой другой матрицы с угловыми минорами уже все будет в порядке.

А вообще, вопрос праздный. Вычисление угловых миноров тоже не подарок, чем это лучше метода Лагранжа (например), непонятно.

[Otta]

Я бы искала собственные значения, честно говоря. Ну, если смысл в этом есть.

[Padawan]

artempalkin в сообщении #1491353 писал(а):

Да, как определить неотрицательную определенность КФ, не приводя к каноническому виду?

Для неотрицательной определенности необходимо и достаточно, чтобы были неотрицательны все главные миноры матрицы квадратичной формы, а не только главные угловые (то есть в первых $k$ строках и столбцах), как в критерии Сильвестра.
Главный минор -- минор, номера строк и столбцов которого совпадают.

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1491355 писал(а):

Ну, например, перезадать квадратичную форму другой матрицей, предварительно найдя ядро

А можно поподробнее? Задать другой матрицей с тем же ядром? А что даст совпадение ядер?

nnosipov в сообщении #1491355 писал(а):

А вообще, вопрос праздный. Вычисление угловых миноров тоже не подарок, чем это лучше метода Лагранжа (например), непонятно.

Я думаю, что ничем не лучше, а почти то же самое (метод Лагранжа в каком-то смысле приводит к вычислению угловых миноров). Но ведь у разных фактов в математике есть не только практическая, но и теоретическая ценность, скажем, важная в доказательствах :)

Padawan в сообщении #1491359 писал(а):

Для неотрицательной определенности необходимо и достаточно, чтобы были неотрицательны все главные миноры матрицы квадратичной формы, а не только главные угловые (то есть в первых $k$ строках и столбцах), как в критерии Сильвестра.

Неотрицательны все главные миноры? Ого, интересно, а как это доказывается?
Кроме того, суммы главных миноров - это коэффициенты ХМ, может быть, можно как-то с этим связать? Хотя, наверное, сложно. Получается, необходимо, чтобы все коэффициенты были неотрицательны (если рассматривать многочлен от $-\lambda$).

Otta в сообщении #1491354 писал(а):

Но я заблудилась. Потому что одно дело этот вопрос и совсем другое - вопрос об экстремумах.

Основной вопрос касался КФ :) Про гессиан я написал в качестве примера (хотя, конечно, для рядового студента это самая частая задача на знакоопределенность КФ). Надо будет в другой теме обсудить :)

[Padawan]

artempalkin в сообщении #1491362 писал(а):

Неотрицательны все главные миноры? Ого, интересно, а как это доказывается?

1) Квадратичная форма положительна определена тогда и только тогда, когда все её главные миноры положительны (а не только главные угловые). Просто перенумеруем переменные, чтобы главный минор стал угловым.
2) Квадратичная форма $(Ax,x)$ неотрицательно определена тогда и только тогда, когда кв.форма $(Ax,x)+\varepsilon(x,x)$ положительно определена при любом $\varepsilon>0$.
3) Устремим $\varepsilon$ к нулю.

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1491362 писал(а):

А можно поподробнее?

Лучше все делать в терминах полярной билинейной формы, т.е. скалярного произведения (следуя терминологии Кострикина и Манина). Находим базис ядра (по определению, ядро состоит из векторов, ортогональных всем векторам пространства; ортогональность, естественно, понимается относительно данной билинейной формы). Дополняем его до базиса всего пространства и в этом базисе пишем матрицу Грама. С ней потом и работаем.

artempalkin в сообщении #1491362 писал(а):

Но ведь у разных фактов в математике есть не только практическая, но и теоретическая ценность, скажем, важная в доказательствах :)

Вот ровно эти слова в таких случаях я и говорю своим студентам :) Само собой, поэтому всегда важен контекст.

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1491366 писал(а):

Лучше все делать в терминах полярной билинейной формы, т.е. скалярного произведения (следуя терминологии Кострикина и Манина). Находим базис ядра (по определению, ядро состоит из векторов, ортогональных всем векторам пространства; ортогональность, естественно, понимается относительно данной билинейной формы). Дополняем его до базиса всего пространства и в этом базисе пишем матрицу Грама. С ней потом и работаем.

Ухх, видимо, нужно подумать об этом и почитать о КФ и билинейных формах у Кострикина (не уверен, что я читал, что он имеет сказать на эту тему, или читал давно). Пока не совсем ясно, как БЛФ, даже полярная к КФ, может "индуцировать" скалярное произведение, если она вырождена (ведь найдутся такие вектора, что $(x,x)=0$, даже при $x\neq \theta$).

Если я правильно понимаю, то по вашему описанию получается, что совпадение ядер у (симметрических) матриц будет критерием конгруэнтности, что вроде бы не должно быть так (но, наверное, я все же не до конца пока понял).

[bot]

artempalkin в сообщении #1491353 писал(а):

Да, как определить неотрицательную определенность КФ, не приводя к каноническому виду?

Если КФ положительно полуопределена, то все собственные числа неотрицательны. Поэтому все коэффициенты характеристического многочлена имеют чередующиеся знаки, причём после первого нуля - все нули. Верно и обратное. Если не ошибаюсь это называется признаком Якоби - не гуглится почему-то.

Otta в сообщении #1491354 писал(а):

Пример хороший, но на другую тему.

Почему на другую? Нулевая квадратичная форма является и положительно и отрицательно полуопределённой. Поэтому по полуопределённости гессиана очевидно нельзя судить о наличии экстремума. Можно только определить чего нету: например, если не совсем нулевой гессиан положительно полуопределён, то максимума нет.

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1491370 писал(а):

Пока не совсем ясно, как БЛФ, даже полярная к КФ, может "индуцировать" скалярное произведение, если она вырождена (ведь найдутся такие вектора, что $(x,x)=0$, даже при $x\neq \theta$).

Термин "скалярное произведение" означает просто "симметричная билинейная функция". Скажем, это некая $g(x,y)$. Соответствующая "квадратичная функция" --- это $q(x)=g(x,x)$. Здесь $x$, $y$ --- векторы. Если в пространстве зафиксировать базис, то все эти штуки можно задавать матрицами. Кстати, невырожденное скалярное произведение --- это когда его матрица невырожденна (неважно, в каком базисе). У невырожденного скалярного произведения $g(x,y)$ вполне могут быть такие векторы $x$, что $g(x,x)=0$.

artempalkin в сообщении #1491370 писал(а):

Если я правильно понимаю, то по вашему описанию получается, что совпадение ядер у (симметрических) матриц будет критерием конгруэнтности, что вроде бы не должно быть так (но, наверное, я все же не до конца пока понял).

Нет, это только необходимое условие.