Задача о топологии векторных пространств с континуум-базой

[Ruslan_Sharipov]

Пусть $V$ – топологическое пространство, имеющее базу открытых множеств мощности континуума (но не имеющее базы никакой меньшей мощности). Может ли $V$ иметь структуру линейного векторного пространства над полем вещественных чисел $\mathbb R$, в котором алгебраические операции сложения векторов и умножения векторов на числа непрерывны относительно топологии в $V$ и стандартной топологии в $\mathbb R$? Если да, то какова при этом наименьшая возможная мощность самого множества $V$?

[vpb]

Посмотрите на такой пример: $V={\mathbb R}^{\mathbb N}$ --- пространство всех последовательностей $(x_1,x_2,\ldots)$ а база окрестностей нуля состоит из всех множеств $U_{\overline\varepsilon}=\{(x_1,x_2,\ldots)\mid |x_i|<\varepsilon_i\}$, где $\overline\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots)$, $\varepsilon_i>0$. По-моему, подходит (детально не обдумал).

P.S. Кажется, нетривиально доказать, что в этом примере нет базы (окрестностей нуля) мощности меньше континуума. Мне даже кажется, что это доказать и невозможно иначе как через континуум-гипотезу. Что до базы во всем пространстве, то там действительно минимальная мощность континуум (это легко).

[Padawan]

vpb
В такой топологии умножение на числа не является непрерывной операцией. Например, в точке $(a,x)$, где $a=1, x=(1,1,1,\ldots)$. По $a$ нет непрерывности.
Подойдет $\mathbb R^{\mathbb R}$ с топологией произведения. Кстати, оно сепарабельно.

[vpb]

Padawan в сообщении #1490687 писал(а):

Например, в точке $(a,x)$, где $a=1, x=(1,1,1,\ldots)$. По $a$ нет непрерывности.

Действительно, не приметил (слона).

[Padawan]

Можно взять гильбертово пространство с ортогональным базисом мощности континуум. Оно имеет мощность континуум.

[Padawan]

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1490685 писал(а):

Кажется, нетривиально доказать, что в этом примере нет базы (окрестностей нуля) мощности меньше континуума. Мне даже кажется, что это доказать и невозможно иначе как через континуум-гипотезу.

Интересная задача. Что счётной нет легко доказать. А что меньше континуума нет -- у меня не получается.

[Ruslan_Sharipov]

Padawan, vpb! Спасибо за деятельное участие в обсуждении задачи и ценные идеи.

Padawan в сообщении #1490701 писал(а):

Можно взять гильбертово пространство $H$ с ортогональным базисом мощности континуум.

Как множество $H$ — это подмножесто в $\mathbb R^{\mathbb R}$. Его элементы изображаются суммами вида

$$ \bold x=\sum_{\beta\in\mathbb R}x_\beta\bold e_\beta, $$

где только счётное количество коэффициентов $x_\beta\in\mathbb R$ отлично от нуля и

$$ \Vert\bold x\Vert^2=\sum_{\beta\in\mathbb R}|x_\beta|^2<\infty. $$

Padawan в сообщении #1490776 писал(а):

Кажется, нетривиально доказать, что в этом примере нет базы (окрестностей нуля) мощности меньше континуума.

А в задаче не говорится про базу окрестностей нуля. Говорится про базу открытых множеств топологии. То, что мощность любой такой базы больше или равна континууму, для Вашего примера удаётся доказать. Возьмём точки из $H$ вида

$$ \bold x_\alpha=\sum_{\beta\in\mathbb R}x_\beta\bold e_\beta\text{, \ где \ }x_\beta=0\text{\ \ для всех \ }\beta\neq\alpha\text{\ \ и \ }x_\beta=1\text{\ \ для \ }\beta=\alpha. $$

Число таких точек континуально. Расстояние между любыми двумя из них равно $\sqrt{2}$. Если взять открытые шары с $B_\alpha$ с центрами в точках $\bold x_\alpha$ и радиусами $R=\frac{1}{2}$, то мы получим континуальное семейство попарно не пересекающихся открытых шаров. Каждый такой шар содержит как минимум одно открытое множество из базы. Поэтому (по аксиоме выбора) любая база топологии в $H$ включает в себя континуальное семейство открытых множеств. Мощность такой базы не ниже мощности континуума.

С Вашим примером в этом плане всё хорошо.

[Padawan]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1491053 писал(а):

А в задаче не говорится про базу окрестностей нуля

То мое замечание

Padawan в сообщении #1490776 писал(а):

Интересная задача. Что счётной нет легко доказать. А что меньше континуума нет -- у меня не получается.

относилось к примеру vpb $\mathbb R^{\mathbb N}$ с определенной, указанной им топологией. Потому и в оффтоп было взято.

А с гильбертовым пространством-то все понятно. Вес - континуум. А характер (наименьшая мощность базы в точке) -- счётен. Это же метрическое пространство.