Диофантово уравнение 5-й степени

[nnosipov]

Решите уравнение $xy^3+y^2-x^5-1=0$ в натуральных числах.

P.S. Оригинал здесь https://artofproblemsolving.com/communi ... 85h1695131

[dmd]

т.к. $x\mid(y^2-1)$, то можно записать $x y^3-x^5+x n=0$, где $n$ некое натуральное

или

$y^3 + n=x^4$

В книжке Серпинского "О решении уравнений в целых числах" на стр.63 написано, что уравнение $y^3 + n^2=x^4$ имеет безконечный набор натуральных решений, следовательно уравнение $y^3 + n=x^4$ тем более. И значит исходное уравнение тоже имеет безконечный набор натуральных решений.

[nnosipov]

dmd
Спасибо, что заинтересовались. Вы пишите:

dmd в сообщении #1388536 писал(а):

где $n$ некое натуральное

Дело в том, что это $n$ хитро зависит от $x$ и $y$. А у Серпинского уравнение $y^3 + n^2=x^4$ исследуется в предположении, что $y$, $n$, $x$ --- три независимых неизвестных. Замечу, что если $n$ зафиксировать, то уравнение Серпинского будет иметь конечное множество решений-пар $(x,y)$.

Ответ, кстати, в задаче такой: уравнение имеет единственное решение $(x,y)=(1,1)$ в натуральных числах. Вы можете утвердиться в этом с помощью Solve из Mathematica (перебор в конечном, но приличном по размеру диапазоне типа $x,\,y <10^6$). А потом мы как-нибудь сочиним доказательство.

[dmd]

nnosipov
да, Вы правы

[nnosipov]

Может, все-таки решим задачку? После того, как она была опубликована (см. Amer. Math. Monthly, 2020, V. 127, no. 4, p. 372), она стала (довольно вяло) обсуждаться здесь: https://artofproblemsolving.com/communi ... a_equation Собственно, никакой теории чисел здесь нет, есть алгебра и анализ (в пропорции, определяемой способом решения). В свое время подобные сюжеты мы не раз обсуждали на dxdy.

Для любителей погорячее есть более интересный вариант задачи: решить уравнение $xy^3+y^2+y-x^5+10=0$ в натуральных числах.

[Dmitriy40]

(Без математики)

Какие-то скучные примеры, всего по одному решению, так не интересно:

? for(x=1,10^5,fordiv(x^5+1,y,if(x*y^3+y^2-x^5-1==0,printf("(%d,%d)\n",x,y)) ))
(1,1)
time = 58,236 ms.
? for(y=2,10^6,fordiv(y^2-1,x,if(x*y^3+y^2-x^5-1==0,printf("(%d,%d)\n",x,y)) ))
time = 59,062 ms.
? for(x=2,10^5,fordiv(x^5-10,y,if(x*y^3+y^2+y-x^5+10==0,printf("(%d,%d)\n",x,y)) ))
(2,2)
time = 2min, 33,552 ms.
? for(y=1,10^6,fordiv(y^2+y+10,x,if(x*y^3+y^2+y-x^5+10==0,printf("(%d,%d)\n",x,y)) ))
(2,2)
time = 35,102 ms.

Заметьте, $x$ перебрался до $10^{12}$, а $y$ аж до $10^{25}$.

[nnosipov]

Dmitriy40
Да, все так. Ну, вот такой сорт уравнений --- конечное число решений, могло и вообще не быть. Кстати, на этой кривой $y \sim x^{4/3}$ при $x \to \infty$, т.е. на $y$-ке можно было немного сэкономить.

Upd. На всякий случай: решений, кроме найденных, больше нет.

[waxtep]

Не дается задача, хотя зубов об нее поломал изрядно. Получилось только следующее: для натуральных $x,y>1$ из $y^2=\dfrac{x^5+1}{xy+1}$ можно получить совсем грубую оценку $y^3<x^4<y^3+y^2-1$ и более точную $x^4-x^{5/3}<y^3<x^4$. Из них получается, что если решение в этих условиях существует, то $x=\lceil y^{3/4}\rceil$ и $y=\lfloor x^{4/3}\rfloor$. Далее, на грубой оценке далеко не уедешь, например, $x=16,y=40$ ей удовлетворяют; к точной мне контрпример найти не удалось, но и толк пока извлечь тоже. Получается, что $y^3$ должно быть "чуть меньше" $x^4$, хотелось бы доказать, что, с другой стороны, так близко друг к другу они не могут быть, однако непонятно почему

-- 07.11.2020, 01:47 --

Да, это конечно об исходной задаче, а не той, что погорячее

[lel0lel]

Можно попробовать так:
решаем кубическое уравнение по $y$, вещественный корень у него один (так как функция по $y$ монотонная при натуральном $x$), выбираем нужную ветку;
делаем замену $x=A^3+d$, где $A, d$ натуральные причём $d<3A^2+3A+1$;
$y(x)$ разложим в ряд при $A\to\infty$, дальше на него нужно внимательно посмотреть, возможно, что его структура такова, что при больших $A$ это сумма целого числа плюс дробь с маленьким знаменателем и плюс дробь с очень большим знаменателем, и ещё более маленький хвост. Будут нужны оценки. В общем дело довольно громоздкое, на которое потребуется время.

[nnosipov]

waxtep
lel0lel
Вы оба правы: дело, конечно, в оценках и разложении в ряды. Специально не буду подсказывать, ибо есть шанс, что у вас придумается что-то оригинальное.

[nnosipov]

Так, господа, не пора ли мне написать решение? Если это кому-нибудь интересно, дайте знать.

[waxtep]

nnosipov в сообщении #1499840 писал(а):

Если это кому-нибудь интересно, дайте знать.

Конечно, интересно! Рассуждение в сходной задаче, к-рую Вы упомянули в ЛС мне удалось повторить (красота! спасибо), но в этой ни с соседними квадратами, ни с кубами у меня не получилось что-либо аналогичное провернуть

[nnosipov]

waxtep
чтобы не переписывать, приложу здесь тот файл, который посылал в AMM (кажется, никаких запретов на этот счет нет; тем более, что авторского решения, скорее всего, не опубликуют).