Поиск лагранжиана по экстремалям

[knopkaq]

Здравствуйте, столкнулся со следующей задачкой: найти все лагранжианы $L(x, x')$ не зависящие от времени, для которых все экстремали являются прямые вида $x(t) = at + b$.
Я решал следующим образом: рассмотрел уравнение Эйлера-Лагранжа $L_{x}(x(t), x'(t)) - \frac{d}{dt}L_{x'}(x(t), x'(t)) = 0$, расписал $\frac{d}{dt}L_{x'}(x(t), x'(t))$ и умножил полученное равенство на $x'(t)$ получил $\frac{d}{dt}(L(x(t), x'(t)) - L_{x'}(x(t), x'(t))x'(t)) = 0$ откуда получил $L(x(t), x'(t)) - L_{x'}(x(t), x'(t))x'(t) = C$ где $C$ - константа.
Дальше ступор(
Есть такие мысли:
Насколько я понимаю, у меня получилось дифференциальное уравнение в частных производных, такие я решать не умею.
Был бы рад если бы подсказали как решить такое.
Возможно это уравнение можно свести как-то к обычному ДУ либо к системе ДУ.
Максимум что у меня получалось, это свести то что у меня получилось к виду:
$L^2(x(t), x'(t)) (\frac{x'(t)}{L(x(t), x'(t))})'_{x'(t)} = C$
но как из этого получить $L(x(t), x'(t))$ не ясно.
Еще видимо на каком-то этапе нужно воспользоваться тем что экстремали это прямые, но вот не ясно где этим пользоваться.
Подскажите пожалуйста.

[amon]

Какому дифференциальному уравнению удовлетворяет $x(t) = at + b$?

[Padawan]

knopkaq в сообщении #1490908 писал(а):

и умножил полученное равенство на $x'(t)$

А Вы не умножайте. Выпишите честно уравнение Эйлера-Лагранжа для $L(x,x')$, и подставьте туда $x=at+b$. Полученное уравнение должно тождественно выполнятся для любых $a,b,t$. Его нетрудно будет переписать как дифференциальное уравнение на функцию $L(u,v)$. Формально оно будет в частных производных, но такого типа как $f'_u(u,v)=0$, то есть фактически ОДУ по одной переменной при фиксированной другой. Легко решается.

[knopkaq]

amon в сообщении #1490913 писал(а):

Какому дифференциальному уравнению удовлетворяет $x(t) = at + b$?

к сожалению не понял ваш наводящий вопрос(
но $x(t) = at + b$ удовлетворяет $\ddot{x} = 0$.

Padawan в сообщении #1490918 писал(а):

Выпишите честно уравнение Эйлера-Лагранжа для $L(x,x')$, и подставьте туда $x=at+b$. Полученное уравнение должно тождественно выполнятся для любых $a,b,x$.

так должно получиться:
$L(at+b, a) - L_{\dot{x}}(at + b, a) a = C$ - тождество по $a, b, t$ ?

[Padawan]

Так, только Вы проигнорировали вот этот совет

Padawan в сообщении #1490918 писал(а):

Выпишите честно уравнение Эйлера-Лагранжа для $L(x,x')$

без всяких преобразований

[knopkaq]

Padawan в сообщении #1490937 писал(а):

Так, только Вы проигнорировали вот этот совет

Padawan в сообщении #1490918 писал(а):

Выпишите честно уравнение Эйлера-Лагранжа для $L(x,x')$

без всяких преобразований

если прям совсем честно выписать то вроде получится что-то такое:
$L_x(at + b, a) - \frac{d}{dt}L_{x'}(at + b, a) = 0$

и это надо переписать как ДУ для функции $L(u, v)$ ?

[Padawan]

Не, производную по $t$-то распишите, а потом уже $x=at+b$ подставляйте.

[knopkaq]

Padawan в сообщении #1490942 писал(а):

Не, производную по $t$-то распишите, а потом уже $x=at+b$ подставляйте.

тогда так должно получиться если я правильно все понял:
$L_x(at+b, a) - L_{\dot{x}x}(at+b, a)a = 0$

[Padawan]

Да, так. Пусть $at+b=u, a=v$. Какое получится уравнение на функцию $L(u,v)$?

[knopkaq]

хм... такое $L_u(u, v) - L_{vu}(u, v)v = 0$ ?

[Padawan]

Да. Решайте.

[Утундрий]

$L_u \to f$

[knopkaq]

если свернуть это как $L^{2}_{u} (\frac{v}{L_u})^{'}_{v} = 0$
то получаем 2 случая:
$L_u = 0$ и $\frac{v}{L_u} = C$, т.е. $v = CL_u$ или $Dv = L_u$ откуда $L = Duv + E$
Ну и так как при $D = 0$ получаем что $L = E$ то случай $L_u = 0$ тоже учтен в этом решении.
Т.е. общее решение имеет вид: $L(u, v) = Duv + E$ для произвольных констант $D, E$ так ?

[Утундрий]

На последнем шаге споткнулись. Не забывайте, что у нас две переменные.

[knopkaq]

knopkaq в сообщении #1490976 писал(а):

$Dv = L_u$ откуда $L = Duv + E$

на этом ?