2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рекуррентное соотношение и подходящие дроби
Сообщение05.11.2020, 14:12 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Пусть $m \geqslant 5$ --- нечетное число. Положим $L_1=m$ и $L_{k+1}=L_k^2-2$ для $k \geqslant 1$. Докажите, что $L_k=P_{2^k-1}$, где $P_j/Q_j$ --- $j$-я подходящая дробь для $\sqrt{m^2-4}$.

Примечание. Нумерация подходящих дробей начинается с нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентное соотношение и подходящие дроби
Сообщение05.11.2020, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Лобовое решение.

Положим $\lambda=\frac{m+\sqrt{m^2-4}}{2}$, так что $L_k=\lambda^{2^{k-1}}+\lambda^{-2^{k-1}}=A_{2^{k-1}}$, где $A_n=\lambda^n+\lambda^{-n}=mA_{n-1}-A_{n-2}$.

Цепная дробь: $\sqrt{m^2-4}=\left[m-1;\overline{1,\frac{m-3}{2},2,\frac{m-3}{2},1,2m-2}\right]$.

Лобовым вычислением проверяем:
\begin{align*}
p_{6n}&=A_{3n+1}-\frac{A_{3n}}{2},\\
p_{6n+1}&=A_{3n+1},\\
p_{6n+2}&=\frac{A_{3n+2}-A_{3n+1}}{2},\\
p_{6n+3}&=A_{3n+2},\\
p_{6n+4}&=\frac{A_{3n+3}}{2}-A_{3n+2},\\
p_{6n+5}&=\frac{A_{3n+3}}{2}.
\end{align*}

В частности: $p_{2^k-1}=A_{2^{k-1}}=L_k$.

(Оффтоп)

Рекуррентное соотношение для $A_n$ намекает на подходящие дроби для цепной дроби с минусами:
$$\lambda=m-\cfrac{1}{m-\cfrac{1}{m-\dotsb}}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентное соотношение и подходящие дроби
Сообщение05.11.2020, 17:29 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
RIP в сообщении #1490807 писал(а):
Лобовое решение.
А как Вы так быстро угадали весь комплект формул? Подозрительно как-то :-) Я вот честно решал систему рекуррентных соотношений.

Я вдруг (на этом сюжете) осознал, что можно выписывать явные формулы для всех подходящих дробей к данной квадратичной иррациональности. Это, вероятно, медицинский факт. Где об этом явно написано, не подскажите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентное соотношение и подходящие дроби
Сообщение05.11.2020, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
nnosipov в сообщении #1490811 писал(а):
А как Вы так быстро угадали весь комплект формул?
Подогнал под ответ. :-) В условии фактически дано $p_{6n+1}=A_{3n+1}$ и $p_{6n+3}=A_{3n+2}$. Остальные получаются из рекуррентных соотношений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентное соотношение и подходящие дроби
Сообщение05.11.2020, 17:42 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Спасибо, понятно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентное соотношение и подходящие дроби
Сообщение05.11.2020, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
nnosipov в сообщении #1490811 писал(а):
Где об этом явно написано, не подскажете?
Ссылку не знаю, но можно совсем в лоб с помощью формулы
$$\begin{pmatrix}p_n&p_{n-1}\\q_n&q_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1&1\\1&0\end{pmatrix}\dotsm\begin{pmatrix}a_n&1\\1&0\end{pmatrix}.$$
Если последовательность $a_n$ периодическая, то фактически задача сводится к возведению матрицы $2\times2$ в степень. Я сначала так и хотел, но терпения не хватило.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентное соотношение и подходящие дроби
Сообщение05.11.2020, 17:48 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
RIP в сообщении #1490816 писал(а):
но терпения не хватило
Честно говоря, у меня тоже. (Решать-то я решал, но не дорешал, больно громоздко.)

А формула действительно помогает осознать факт. Наверное, это и есть самое простое объяснение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентное соотношение и подходящие дроби
Сообщение05.11.2020, 18:52 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
nnosipov в сообщении #1490794 писал(а):
Пусть $m \geqslant 5$ --- нечетное число. Положим $L_1=m$ и $L_{k+1}=L_k^2-2$ для $k \geqslant 1$. Докажите, что $L_k=P_{2^k-1}$, где $P_j/Q_j$ --- $j$-я подходящая дробь для $\sqrt{m^2-4}$.

Это же балб-гам Люка-Лемер (почти)

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентное соотношение и подходящие дроби
Сообщение05.11.2020, 19:57 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
maxal
Да, ассоциация с тестом Люка-Лемера мне тоже бросилась в глаза. А наблюдение с подходящими дробями --- это мне сообщили. Я поэкспериментировал с четными $m \geqslant 6$: оказалось, что здесь $L_k=2P_{2^k-1}$ при $k \geqslant 2$. Кстати, в тесте Люка-Лемера можно брать различные $L_1$, но все они четные: см. https://oeis.org/A018844.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group