Сопряженные преобразования

[mihaild]

Пардон, бред выше сказал.

mihaild в сообщении #1489915 писал(а):

нельзя скалярно умножать вектор-столбец на вектор-столбец

Скалярно как раз можно, как матрицы нельзя.

Я всё еще не очень понимаю, в чем пафос. Вы предлагаете договориться, что $xA = A^T x$, где $x$ - вектор-столбец? Или где $A$ - линейный оператор, а $x$ - вектор?

Vladimir Pliassov в сообщении #1490006 писал(а):

Как обозначается (транспонирование и) сопряжение стандартным образом?

Транспонирование - $A^T$, сопряжение - $A^*$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1490018 писал(а):

mihaild в сообщении #1489915 писал(а):

Я всё еще не очень понимаю, в чем пафос. Вы предлагаете договориться, что $xA = A^T x$, где $x$ - вектор-столбец? Или где $A$ - линейный оператор, а $x$ - вектор?

$\cal A$ линейный оператор, $\textbf x$ вектор, $\textbf x\cal A$ линейное преобразование вектора $\textbf x$ со спецификацией, что оно равно результату умножения матрицы преобразования на вектор слева, а не справа, как в случае $\cal A\textbf x$ (хотя и при умножении справа будет тот же результат).

Но вопрос: какой матрицы? При допущении возможности при линейном преобразовании вектора умножать на него матрицу не только справа, как обычно, но и слева, у оператора появляется еще одна матрица, которая транспонирована по отношению к "традиционной".

Если взять за основу матрицу $A$ билинейной формы $ \mathcal A(\textbf x; \textbf y)$ (которая "отвечает" преобразованию $\cal A$ - Гельфанд), то "традиционной" матрицей преобразования $\cal A$, то есть той матрицей, которая умножается на вектор справа, будет матрица $A^T$. А той матрицей, которая умножается на вектор слева, будет $A$.

При этом вектор также транспонируется: $\mathcal A\textbf x=A^T\textbf x, \,\,\,\,\,\,\, \textbf x\mathcal A=\textbf x^TA.$

$\mathcal A\textbf x$ и $\textbf x\mathcal A$ это одно и то же преобразование вектора $\textbf x$, и его можно обозначить $\textbf x \above \mathcal A$, чтобы исключить вопрос, справа или слева.

mihaild в сообщении #1490018
[quote="Vladimir Pliassov в сообщении #1490006 писал(а):

Как обозначается (транспонирование и) сопряжение стандартным образом?

mihaild в сообщении #1490018 писал(а):

Транспонирование - $A^T$, сопряжение - $A^*$.

Если $A^*$ это и сопряженное преобразование, и комплексно сопряженная матрица, то как их различать?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1490042 писал(а):

$\textbf x\cal A$ линейное преобразование вектора $\textbf x$ со спецификацией, что оно равно результату умножения матрицы преобразования на вектор слева, а не справа

Vladimir Pliassov в сообщении #1490042 писал(а):

$\mathcal A\textbf x$ и $\textbf x\mathcal A$ это одно и то же преобразование вектора $\textbf x$,

Кажется эти два утверждения друг другу противоречат. Возьмем $x = (1, 2)$ и $\cal A$ с матрицей $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$. Тогда по первому определению $x\mathcal{A} = (0, 2)$. При этом $\mathcal A x = (2, 0)$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490042 писал(а):

Если $A^*$ это и сопряженное преобразование, и комплексно сопряженная матрица, то как их различать?

А, вы хотели матрицу, все элементы которой сопряжены, но матрица не транспонирована? Она обозначается $\overline{A}$, но вроде бы это не очень интересный объект.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1490044 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490042 писал(а):

$\textbf x\cal A$ линейное преобразование вектора $\textbf x$ со спецификацией, что оно равно результату умножения матрицы преобразования на вектор слева, а не справа

Vladimir Pliassov в сообщении #1490042 писал(а):

$\mathcal A\textbf x$ и $\textbf x\mathcal A$ это одно и то же преобразование вектора $\textbf x$,

Кажется эти два утверждения друг другу противоречат. Возьмем $x = (1, 2)$ и $\cal A$ с матрицей $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$. Тогда по первому определению $x\mathcal{A} = (0, 2)$. При этом $\mathcal A x = (2, 0)$.

Матрица тоже транспонируется.

mihaild в сообщении #1490044 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490042 писал(а):

Если $A^*$ это и сопряженное преобразование, и комплексно сопряженная матрица, то как их различать?

А, вы хотели матрицу, все элементы которой сопряжены, но матрица не транспонирована? Она обозначается $\overline{A}$, но вроде бы это не очень интересный объект.

О! Точно! Как это я забыл?

Нет, объект интересный.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490042 писал(а):

Если $A^T$ транспонировать и затем комплексно сопрячь, то получится матрица, комплексно сопряженная с $ A$. Обозначим ее буквой $ A'$.

Но поскольку мы для преобразования $\cal A$ применяем умножение слева, его матрицей является не $A^T$, а $A$, и $A$ уже не надо транспонировать (потому что переход от умножения справа к умножению слева равносилен транспонированию матрицы), а надо только сопрячь. При этом мы также получим матрицу $ A'$.

Итак, $ A'$ это матрица преобразования $ \cal A^*$ (разумеется, при умножении справа, но заметим, что относительно преобразования $ \cal A^*$ мы рассматриваем только умножение справа - на вектор $\textbf y$.)

В вещественном пространстве - если его рассматривать как комплексное, - комплексное сопряжение не меняет матрицы, поэтому в нем матрица преобразования $ \cal A^*$ это $A$.

Это написано в моем первоначальном сообщении, там обозначение комплексного сопряжения - $'$, но теперь я, конечно, переделаю.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1490049 писал(а):

Матрица тоже транспонируется

Так всё-таки вы хотите $Ax = xA$ или $Ax = xA^T$?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1490059 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490049 писал(а):

Матрица тоже транспонируется

Так всё-таки вы хотите $Ax = xA$ или $Ax = xA^T$?

$\mathcal A\textbf x=A^T\textbf x, \,\,\,\,\,\,\, \textbf x\mathcal A=\textbf x^TA, \,\,\,\,\,\, A^T\textbf x=\textbf x^TA \rightarrow \mathcal A\textbf x= \textbf x\mathcal A $.

[mihaild]

Так, кажется надо начать явно различать операторы с векторами и соответствующие им матрицы (и вектора-строки / вектора-столбцы). Предлагаю обозначать операторы и вектора жирным шрифтом, а соответствующие им матрицы и вектора-столбцы - обычным (считаем базис фиксированным и ортонормированным). И внимательно следить, что мы нигде не используем объекты не того типа.
В скалярное произведение, например, можно подставлять только сами вектора, а не строки и не столбцы. Но есть интересное свойство: $(\textbf x, \textbf y) = x^T y$ (справа - матричное умножение).

Правильно ли я предлагаю, что в таких терминах вы предлагаете как-то определить именно $\textbf x \textbf A$ (сейчас этому выражению не приписан никакой смысл - оператор можно писать только слева от того, к чему он применяется)?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1490063 писал(а):

Так, кажется надо начать явно различать операторы с векторами и соответствующие им матрицы (и вектора-строки / вектора-столбцы). Предлагаю обозначать операторы и вектора жирным шрифтом, а соответствующие им матрицы и вектора-столбцы - обычным (считаем базис фиксированным и ортонормированным). И внимательно следить, что мы нигде не используем объекты не того типа.
В скалярное произведение, например, можно подставлять только сами вектора, а не строки и не столбцы. Но есть интересное свойство: $(\textbf x, \textbf y) = x^T y$ (справа - матричное умножение).

Правильно ли я предлагаю, что в таких терминах вы предлагаете как-то определить именно $\textbf x \textbf A$ (сейчас этому выражению не приписан никакой смысл - оператор можно писать только слева от того, к чему он применяется)?

Прекрасно! Все принимается, кроме того, что оператор можно писать только слева от того, к чему он применяется.

Кстати, был прецедент.

nnosipov в сообщении #1489912 писал(а):

Обозначение образа вектора при линейном преобразовании, где аргумент слева, а оператор справа, встречается в "Курсе высшей алгебры" Куроша. Мотивирует он это так:

А.Г. Курош, Курс высшей алгебры, СПб., 2008, стр. 194 писал(а):

Если преобразование обозначено через $\varphi$, то образ вектора $a$ условимся записывать не через $\varphi(a)$ или $\varphi a$, что читателю было бы привычнее, а через $a\varphi$.

Но у Куроша это обозначение, может быть, случайное, а у нас в $\textbf x\textbf A$ $\textbf x$ стоит перед $\textbf A$, чтобы указать, что матрица $A$ умножается на вектор $x$ слева.

$$\textbf x\textbf A=x^T A=\begin {pmatrix} \xi_1&\xi_2&\ldots&\xi_n\\ \end {pmatrix} \begin {pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n 1}&a_{n 2}&\ldots&a_{nn} \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} \zeta_1&\zeta_2&\ldots&\zeta_n\\ \end {pmatrix}=\textbf z.$$

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1490065 писал(а):

$\textbf x\textbf A=x^T A$

Вот так писать нельзя - вектор не может быть равен матрице.
Может быть, вы имели в виду $\textbf x \textbf A = \textbf y$, где $y^T = x^T A$?
Это не очень хорошее обозначение, потому что оно неинвариантно относительно замены базиса: если $x_1, x_2$, $y_1, y_2$ и $A_1, A_2$ - матрицы векторов $\textbf x$, $\textbf y$ и оператора $\textbf A$ в двух базисах, и в одном выполнено $x_1^T A_1 = y_1^T$, то совершенно не обязательно будет выполнено $x_2^T A_2 = y_2^T$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1490067 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490065 писал(а):

$\textbf x\textbf A=x^T A$

Вот так писать нельзя - вектор не может быть равен матрице.
Может быть, вы имели в виду $\textbf x \textbf A = \textbf y$, где $y^T = x^T A$?
Это не очень хорошее обозначение, потому что оно неинвариантно относительно замены базиса: если $x_1, x_2$, $y_1, y_2$ и $A_1, A_2$ - матрицы векторов $\textbf x$, $\textbf y$ и оператора $\textbf A$ в двух базисах, и в одном выполнено $x_1^T A_1 = y_1^T$, то совершенно не обязательно будет выполнено $x_2^T A_2 = y_2^T$.

1.

Наверное, надо отказаться от обозначения $\textbf x \textbf A$: идея не о векторах и преобразованиях, а об их матрицах.

То, что линейному оператору $\textbf A(\textbf x)$ соответствуют разные матричные равенства: $y = A^Tx $ и $y^T = x^T A$, - не достаточное основание к тому, чтобы обозначать его по-разному. Надо просто указать, о каком именно матричном равенстве из этих двух, соответствующих оператору $\textbf A\textbf x$, идет речь в контексте.

2.

mihaild в сообщении #1490067 писал(а):

[quote=если $x_1, x_2$, $y_1, y_2$ и $A_1, A_2$ - матрицы векторов $\textbf x$, $\textbf y$ и оператора $\textbf A$ в двух базисах, и в одном выполнено $x_1^T A_1 = y_1^T$, то совершенно не обязательно будет выполнено $x_2^T A_2 = y_2^T$.

Как это может быть? Разве равенство $y^T = x^T A$ (так же как и $y = A^Tx $) справедливо не для произвольного базиса?

Может быть, Вы имеете в виду, что эти равенства не верны для неортонормированных базисов?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1490078 писал(а):

То, что линейному оператору $\textbf A(\textbf x)$ соответствуют разные матричные равенства: $y = A^Tx $ и $y^T = x^T A$,

Не очень понятно, в каком смысле эти равенства "соответствуют" оператору. В любом случае, $A$ и $A^T$ - матрицы разных операторов. В вещественном случае $A^T$ - матрица оператора $\textbf A^*$, в комплексном - какого-то вроде бы вообще не связанного с $\textbf A$ оператора.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490078 писал(а):

Разве равенство $y^T = x^T A$ (так же как и $y = A^Tx $) справедливо не для произвольного базиса?

Нет, это очень легко проверяется. Пусть у нас есть два базиса, связанных матрицей перехода $C$ - так что $x_2 = Cx_1$, $A_2 = CA_1 C^{-1}$ и т.д. Подставьте эти выражения в равенство $x_2^T A_2 = y_2^T$ - и обнаружите, что результат отличается от $x_1^T A_1 = y_1^T$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1490111 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490078 писал(а):

Разве равенство $y^T = x^T A$ (так же как и $y = A^Tx $) справедливо не для произвольного базиса?

Нет, это очень легко проверяется. Пусть у нас есть два базиса, связанных матрицей перехода $C$ - так что $x_2 = Cx_1$, $A_2 = CA_1 C^{-1}$ и т.д. Подставьте эти выражения в равенство $x_2^T A_2 = y_2^T$ - и обнаружите, что результат отличается от $x_1^T A_1 = y_1^T$.

Да, конечно, теперь сообразил. Но в одном базисе - ортонормированном - $y = A^Tx \Leftrightarrow y^T = x^T A.$

mihaild в сообщении #1490111 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490078 писал(а):

То, что линейному оператору $\textbf A(\textbf x)$ соответствуют разные матричные равенства: $y = A^Tx $ и $y^T = x^T A$,

Не очень понятно, в каком смысле эти равенства "соответствуют" оператору. В любом случае, $A$ и $A^T$ - матрицы разных операторов. В вещественном случае $A^T$ - матрица оператора $\textbf A^*$, в комплексном - какого-то вроде бы вообще не связанного с $\textbf A$ оператора.

При допущении возможности при линейном преобразовании вектора умножать на него матрицу не только справа, как обычно, но и слева, у оператора появляется еще одна матрица, которая транспонирована по отношению к "традиционной".

Если взять за основу матрицу $A$ билинейной формы $ \textbf A(\textbf x; \textbf y)$ (которая "отвечает" преобразованию $\textbf A$ - Гельфанд), то "традиционной" матрицей преобразования $\textbf A$, то есть той матрицей, которая умножается на вектор $x$ справа, будет матрица $A^T$. А той матрицей, которая умножается на вектор $x^T$ слева, будет $A$.

При этом векторы-матрицы $A^Tx $ и $ x^T A$ соответствуют вектору $\textbf A\textbf x$ в том смысле, что они оба являются его координатным выражением в данном базисе - каждый из них представляет собой упорядоченный набор чисел, равный его координатам (в этом отношении то, что $A^Tx $ вектор-столбец, а $ x^T A$ вектор-строка несущественно).

В комплексном случае матрица оператора $ \textbf A^*$ это $\overline A$, в вещественном случае это $A$.

При обычном умножении матрицы оператора $\textbf A$ на преобразуемый вектор $x$ (при умножении справа) его матрица это $A^T$.

При умножении матрицы оператора $\textbf A$ на преобразуемый вектор $x^T$ слева его матрица это $A$.

Каждый из векторов $x, x^T$ является координатным выражением вектора $\textbf x$ в данном базисе.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1490140 писал(а):

Но в одном базисе - ортонормированном - $y = A^Tx \Leftrightarrow y^T = x^T A.$

Это выражение от базиса не зависит, в нём только матрицы. И эти равенства действительно эквивалентны.
Базис нужен когда мы хотим операторам и векторам сопоставлять матрицы.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490140 писал(а):

При допущении возможности при линейном преобразовании вектора умножать на него матрицу не только справа, как обычно, но и слева

Можно векторам сопоставлять не вектора-столбцы, а вектора-строки, тогда матрицы операторов получатся транспонированными относительно стандартных, и они при умножении должны будут стоять справа (иначе даже размерности не сойдутся). Вы это хотите сказать?

Vladimir Pliassov в сообщении #1490140 писал(а):

у оператора появляется еще одна матрица, которая транспонирована по отношению к "традиционной"

А зачем? Путаница с двумя матрицами будет, а польза непонятна.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490140 писал(а):

Каждый из векторов $x, x^T$ является координатным выражением вектора $\textbf x$ в данном базисе

Давайте всё-таки векторами называть элементы векторного пространства, а их координатные выражения в конкретном базисе - например строчками и столбцами.

В вещественном случае столбцы и строчки отличать действительно не очень важно. В комплексном случае это становится важнее, так как там естественной операцией является не транспонирование, а сопряжение (транспонирование + поэлементное сопряжение).

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1490142 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490140 писал(а):

Но в одном базисе - ортонормированном - $y = A^Tx \Leftrightarrow y^T = x^T A.$

Это выражение от базиса не зависит, в нём только матрицы. И эти равенства действительно эквивалентны.
Базис нужен когда мы хотим операторам и векторам сопоставлять матрицы.

Я имел в виду, что векторы-строки (-столбцы) являются координатными представлениями векторов, а матрица есть матрица преобразования, и тогда нужен ортонормированный базис.

mihaild в сообщении #1490142 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490140 писал(а):

При допущении возможности при линейном преобразовании вектора умножать на него матрицу не только справа, как обычно, но и слева

Можно векторам сопоставлять не вектора-столбцы, а вектора-строки, тогда матрицы операторов получатся транспонированными относительно стандартных, и они при умножении должны будут стоять справа (иначе даже размерности не сойдутся). Вы это хотите сказать?

Да.

mihaild в сообщении #1490142 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490140 писал(а):

у оператора появляется еще одна матрица, которая транспонирована по отношению к "традиционной"

А зачем? Путаница с двумя матрицами будет, а польза непонятна.

При обычном умножении матрицы оператора $\textbf A$ на преобразуемый вектор $x$ (при умножении справа) (я не пишу, строка или столбец, потому что $x$ выступает то как строка, то как столбец) в вещественном пространстве выражению $(\textbf A\textbf x, \textbf y)=(\textbf x,\textbf A^*\textbf y)$ будет соответствовать матричное уравнение $(A^Tx)y= x^T(Ay)$,

а при умножении слева матричное уравнение $( x^TA)y=x^T(Ay)$.

Мы видим, что во втором случае задействована только одна матрица $A$, а в первом - две, которые получаются друг из друга транспонированием $-$ $A^T$ и $A$.

К тому же $A $ это матрица билинейной формы $ \textbf A(\textbf x; \textbf y)$, которая во втором случае "отвечает" обоим сопряженным преобразованиям, а в первом - только одному из них.

То есть во втором случае одна и та же матрица $A $ является матрицей и билинейной формы $\textbf A(\textbf x; \textbf y)$, и преобразования $\textbf A$, и преобразования $\textbf A^*$.

mihaild в сообщении #1490142 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1490140 писал(а):

Каждый из векторов $x, x^T$ является координатным выражением вектора $\textbf x$ в данном базисе

Давайте всё-таки векторами называть элементы векторного пространства, а их координатные выражения в конкретном базисе - например строчками и столбцами.

Я думал, что, поскольку их называют векторами-строками и векторами-столбцами, можно для сокращения называть их просто векторами, если это не вызовет недоразумения. Но здесь не должно быть недоразумения, потому что они обозначены не жирным шрифтом.

mihaild в сообщении #1490142 писал(а):

В вещественном случае столбцы и строчки отличать действительно не очень важно. В комплексном случае это становится важнее, так как там естественной операцией является не транспонирование, а сопряжение (транспонирование + поэлементное сопряжение).

При обычном умножении матрицы оператора $\textbf A$ на преобразуемый вектор $x$ (при умножении справа) и при умножении слева перемножаются и складываются те же элементы, поскольку вместе с транспонированием вектора (столбца или строки - если придет фантазия поменять сторону умножения назад), транспонируется и матрица, независимо от того, в вещественном или комплексном пространстве мы находимся.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1490151 писал(а):

матричное уравнение $(A^Tx)y= x^T(Ay)$

Тут размерности не сходятся. Чтобы можно было записать левую часть равенства, $x$ должен быть столбцом, а $y$ - строкой. Чтобы записать правую часть, $x$ должен быть строкой, а $y$ - столбцом.
На самом деле векторному уравнению $(\textbf{Ax}, \textbf y) = (\textbf x, \textbf{A^* y})$ "соответствует" матричное уравнение $(Ax)^T y = x^T (A^T y)$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490151 писал(а):

а в первом - две, которые получаются друг из друга транспонированием $-$ $A^T$ и $A$

В каком смысле "задействована"? Равенство связывает $x$, $y$ и $A$, какие там от них функции считаются - это уже дело десятое.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490151 писал(а):

То есть во втором случае одна и та же матрица $A $ является матрицей и билинейной формы $\textbf A(\textbf x; \textbf y)$, и преобразования $\textbf A$, и преобразования $\textbf A^*$.

Зато писать её нужно то слева, то справа. И в комплексном случае так всё равно не получится, потому что вылезет сопряжение.

Vladimir Pliassov в сообщении #1490151 писал(а):

Я думал, что, поскольку их называют векторами-строками и векторами-столбцами, можно для сокращения называть их просто векторами, если это не вызовет недоразумения

На практике можно, но мы тут как раз копаемся в разнице между вектором и его координатной записью, поэтому ИМХО уместна большая строгость.