Рациональная правая часть у ДУ

[DLL]

Рассмотрим простое дифференциальное уравнение

$$ \frac{dy}{dx} = f(x,y), $$

где $f(x,y)$ - рациональная функция.

Рассмотрим диффеорморфизм $(x,y) \rightarrow (t,u)$, которое преобразует уравнение в $u'(t) = 0$.
Подействуем обратным диффеорморфизмом на $u''(t) = 0$. Не соображу, получится ли рациональная правая часть?

[пианист]

Как минимум, не всегда. Если $t = T(x, y), u = U(x,y)$ преобразование, факт, что из $u' = 0$ получится $y' = f(x, y)$, накладывает ограничения только на $U$, именно, $f(x,y) = - \frac{U_x}{U_y}$. А вот в том, во что перейдет $u'' = 0$, будет фигурировать и $T$, на которую никаких условий.

[novichok2018]

Похожий вопрос. Дан линейный дифференциальный оператор с рациональными коэффициентами. Понятно, что если в него подставить рациональную же функцию, то получится решение соответствующего дифура с рациональной правой частью. Вопрос в том, когда это можно обратить.
Например. Дан дифур $y'(x)=R(x)$, $R(x)$ - рациональная функция. Когда решение тоже будет рациональной функцией? Тут ответ вроде понятен, это интегрирование дробей. Дальше для чуть более сложных уравнений $y' +P(x)y=R(x), y с рациональными коэффициентами и правой частью есть такие утверждения о рациональности решений? Наверняка, это где-то рассматривалось ранее.

[пианист]

А нельзя в общем виде рациональное выражение подставить? ну и дальше приводить подобные..
Лучше математикой/мейплом.

[novichok2018]

пианист -хорошая идея, спасибо.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1489760 писал(а):

Наверняка, это где-то рассматривалось ранее.

Для разностных уравнений (аналогичная задача) точно изучалось. Например, здесь: S.A. Abramov. Rational solutions of linear difference and q-difference equations with polynomial coefficients // Programming and Computer Software, 1995, V. 21.