Каких натуральных чисел очень большое но конечное количество

[Skipper]

Рассмотрим бесконечное множество натуральных чисел. В этом множестве существуют подмножества чисел, с разными характеристиками.
Заметил, что обычно, такие подмножества,

1) или тоже бесконечны (либо возможно бесконечны, но это не доказано). Пример - множество простых чисел. Или множества простых чисел-близнецов (разность между ними $2$). Или, множество простых-триплетов, простых-квадруплетов. Или множество чисел, которые кратны $5$. Короче, множество чисел с некоторыми характеристиками.

2) или множества конечны, но численность таких чисел очень мала. Пример - множество троек простых чисел, у которых разность $4$. Ответ - такая тройка $3,5,7$, их конечное количество , но очень мало.

Задают вопрос. А существует ли некая интересная характеристика , для натуральных чисел, по которой - множество таких чисел будет лишь конечным, но очень большим?
Т.е. математики доказали, что например "таких-то" чисел, с такой характеристикой, точно лишь конечное количество, но это количество огромно, например более чем $10^{100}$ ?

PS Характеристика "все числа меньше $N$", это не характеристика вовсе, по понятной причине. Хотелось бы про числа с некими интересными характеристиками почитать. И доказательства, как доказали что их лишь конечное количество.

[mihaild]

Разные объекты из теории Рамсея - допустимые размеры каких-то объектов, в которых нет какой-то подструктуры.

[Skipper]

Спасибо. Т.е. "чисел Рамсея" - очень большое но лишь конечное количество (и это доказано)?

[mihaild]

Нет, не сами числа Рамсея. Например допустимых размеров графа, в котором нет ни клики, ни независимого множества размера $k$, конечное число, но довольно много.

[epros]

Skipper в сообщении #1488649 писал(а):

А существует ли некая интересная характеристика , для натуральных чисел, по которой - множество таких чисел будет лишь конечным, но очень большим?

Как обычно, на редкость малосодержательный вопрос.

Вот Вам "характеристика": Меньше числа Грэма. Множество таких чисел конечное, но очень большое. Встречный вопрос таков: Насколько это "интересно"?

[Skipper]

epros

Цитата:

Вот Вам "характеристика": Меньше числа Грэма.

Предвидя такие ответы, я же написал в первом сообщении (и всё равно остаётся незамеченным) -

Цитата:

А существует ли некая интересная характеристика ,
...
Характеристика "все числа меньше $N$", это не характеристика вовсе, по понятной причине.

Цитата:

Насколько это "интересно"?

Интересно почитать доказательства, связанные с тем, что вот таких то натуральных чисел, с такими то характеристиками - лишь конечное количество.
Поэтому в определении "меньше числа N" интереса нет.

-- Пт окт 23, 2020 15:56:57 --

mihaild в сообщении #1488657 писал(а):

Например допустимых размеров графа, в котором нет ни клики, ни независимого множества размера $k$, конечное число, но довольно много.

Это из теории графов. А есть ли какие нибудь характеристики именно из теории чисел, с доказательством, что их очень много но лишь конечное количество ?

[kotenok gav]

A059933 подойдёт?

-- 24 окт 2020, 01:15 --

Или A001272?

-- 24 окт 2020, 01:20 --

А A079485?

[Skipper]

kotenok gav в сообщении #1488690 писал(а):

Или A001272
?

Да, это интересно. На английском написано, буду переводить.

[epros]

Skipper в сообщении #1488676 писал(а):

Интересно почитать доказательства, связанные с тем, что вот таких то натуральных чисел, с такими то характеристиками - лишь конечное количество.
Поэтому в определении "меньше числа N" интереса нет.

Есть такие подмножества, про которые вообще не доказано и не опровергнуто, что их конечное количество.

[Skipper]

epros в сообщении #1489171 писал(а):

Есть такие подмножества, про которые вообще не доказано и не опровергнуто, что их конечное количество.

Да.
И есть, такие, про которые доказано что их бесконечное количество.

Но , такие, про которые доказано что их конечное количество - либо само количество очень мало (потому и доказательство элементарное). Либо, их количество очень большое, и доказательство интересное, но таких случаев то ли мало, то ли вообще нет - особенно если характеристика из области множества чисел.

[Утундрий]

Skipper в сообщении #1488649 писал(а):

Характеристика "все числа меньше $N$", это не характеристика вовсе, по понятной причине. Хотелось бы про числа с некими интересными характеристиками почитать.

А откуда числа узнают, что они интересные?

[Skipper]

Утундрий в сообщении #1489312 писал(а):

Skipper в сообщении #1488649 писал(а):

Характеристика "все числа меньше $N$", это не характеристика вовсе, по понятной причине. Хотелось бы про числа с некими интересными характеристиками почитать.

А откуда числа узнают, что они интересные?

Я же писал, разница в том, что доказательства утверждений о конечном количестве каких то чисел, с какими то характеристиками неинтересное (и очень простое) -

1) чисел, меньших чем число Грэма - лишь конечное количество (это вообще не доказательство), или
2) троек простых чисел, на интервале не более чем $4$, лишь конечное количество ($2,3,5$, и тройка $3,5,7$, больше таких троек нет) .

А вот к примеру, доказательство следующего утверждения было бы интересным -

3) простых чисел-триплетов (троек простых, на интервале $6$, например $11,13,17$) лишь конечное количество. Потому что их много в любом случае.

Неужели трудно понять, что я хочу донести?

UPD: Доказательства из области теории чисел, утверждающие что неких чисел (с какими то характеристиками) 1) бесконечно много , 2) либо их очень мало - есть.
Но доказательства утверждений из теории чисел, 3) что неких чисел (с какими то характеристиками) - лишь конечное количество , но их очень много - я вообще таких не видел!

-- Ср окт 28, 2020 15:59:32 --

Единственное доказательство, которое я встречал , и претендовавшее на это, было частичное доказательство Виноградова, слабой (тернарной ) гипотезы Гольдбаха -
"что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых".

Это можно было бы переформулировать так - "нечётных чисел, которых нельзя представить в виде суммы трёх простых - лишь конечное количество".
Но, как оказалось их нет вовсе (доказано Харальдом Гельфготтом). В очередной раз, теория чисел выдала результат - что конечное количество неких чисел с какими то характеристиками, либо очень мало, либо их и вовсе нет, как в данном случае.

Я думал, ну может быть, конечное количество из области теории чисел (т.е. натуральных) - будет например, численность простых-чисел-близнецов (пар на интервале $2$), или простых-триплетов, или простых-квадруплетов, или простых-квинтуплетов, и т.д. Но это не то что не доказано, а как оказалось, существует гипотеза (Харди-Литтлвуда), что любых всех этих подобных кортежей, и вовсе бесконечное количество..

1) либо нет чего то, 2) либо очень малое количество, 3) либо бесконечное количество .
Есть чего то в математике из теории чисел доказанное - 4) таких-то чисел очень много, но их конечное количество?

[mihaild]

Так а чем вас не устраивают примеры из теории Рамсея? Там как раз утверждения вида "все достаточно большие объекты удовлетворяют такому-то свойству".

[Skipper]

Теория Рамсея интересна, и разбираюсь. Просто спросил, может из теории чисел ещё есть подобные случаи и доказательства?

UPD: написано что теория Рамсея - это раздел математики "комбинаторика".

[hurtsy]

Skipper в сообщении #1488649 писал(а):

Или множество чисел, которые кратны $5$.

Множество натуральных чисел и его подмножество, числа кратные $5$, как известно имеют одинаковую мощность, по Кантору эти множества равны. Вам не нужно искать некое множество. Берите любое доказательство бесконечности множества натуральных чисел и исследуйте.