Квадрат на двух концентрических окружностях

[daniel starodubtsev]

Доброго времени суток, подскажите пожалуйста идею решения задачи:
Даны две концентрические окружности. Постройте квадрат так, чтобы две его смежные вершины лежали на одной окружности, а две другие - на другой.
Подозреваю что надо повернуть относительно центра окружностей или вершины квадрата, но не понимаю как именно.

[wrest]

daniel starodubtsev
Такой квадрат не всегда возможен (максимальный радиус $R$ бОльшей окружности равен $r\sqrt{5}$ при радиусе меньшей $r$, достигается когда сторона квадрата лежит на диаметре).

В задаче имеется в виду -- построить циркулем и линейкой?

[daniel starodubtsev]

wrest
Естественно имеются в виду те случаи, когда это возможно. Подразумевается построение с использованием базовых действий, так что да, можно считать что необходимо построить циркулем и линейкой.

[alisa-lebovski]

Можно это решить алгебраически, с помощью системы

$$\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=r^2,\\ (x+2y)^2+y^2=R^2. \end{array}\right.$$

Сторона квадрата здесь $2y$, смещение его стороны относительно центра окружностей $x$.

[slavav]

wrest, кажется, вы описали случай в котором радиус большей окружности не максимален.
daniel starodubtsev, квадратные уравнения можно решить циркулем и линейкой. На первый взгляд у нас тут квадратное уравнение на размер квадрата.

[alisa-lebovski]

Тут биквадратное уравнение. В ответе корень под корнем. Условие на радиусы верно.

[slavav]

alisa-lebovski, квадрат на диаметре поднимем немного вверх. Длина стороны убывает как косинус вокруг нуля, высота всей конструкции (размер квадрата + высота подъёма) растёт линейно. Мне показалось что радиус большей окружности при этом будет расти. Проверю.
Биквадратные уравнения тоже решаются циркулем и линейкой.

[alisa-lebovski]

slavav в сообщении #1489575 писал(а):

Биквадратные уравнения тоже решаются циркулем и линейкой.

Я в курсе.

[iifat]

Ну, по идее, повернуть на $90^\circ$ вокруг вершины квадрата (любой точки окружности) и посмотреть на точку пересечения одной из повёрнутых с другой исходной, не?

[redicka]

Здесь будет два решения.

[gris]

Интересно рассмотреть родственную задачу. Берём окружность и внутрь её помещаем произвольный квадрат подходящего размера так, чтобы две вершины лежали на окружности, а две внутри. Существует ровно одна концентрическая окружность, проходящая через эти внутренние вершина. И она строится сразу (считаем, что центр дан), а посчитать её радиус по радиусу большей окружности и стороне квадрата чуть сложнее.

[daniel starodubtsev]

iifat
Примерно такого решения я и ожидал. Спасибо большое.
Алгебраическое решение здесь было видно, но на мой взгляд через поворот куда изящнее.

[redicka]

alisa-lebovski в сообщении #1489566 писал(а):

Можно это решить алгебраически, с помощью системы

$$\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=r^2,\\ (x+2y)^2+y^2=R^2. \end{array}\right.$$

Сторона квадрата здесь $2y$, смещение его стороны относительно центра окружностей $x$.

Проверил, сторона квадрата находится правильно, а смещение квадрата нет.

[slavav]

Из идеи iifat сразу следует другое ограничение на радиус большей окружности: $r(\sqrt2 + 1)$.

[alisa-lebovski]

redicka в сообщении #1489696 писал(а):

Проверил, сторона квадрата находится правильно, а смещение квадрата нет.

Под смещением я имею в виду расстояние от центра окружностей до стороны квадрата (если центр внутри квадрата, то со знаком минус).