есть ли ошибка в доказательстве континуальности натурального

[qverin345]

есть ли ошибка в этом доказательстве?
Докажем, что множество натуральных чисел несчетно.
Рассмотрим счетное множество(всех или только некоторых) натуральных чисел
в двоичном представлении, записывая их слева направо в порядке возрастания разряда

а1: 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
а2: 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
а3: 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
а4: 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
а5: 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
............
поставим каждому натуральному числу списка а1, а2, ... в соответствие само это число,
затем воспользуемся абстракцией завершенной бесконечности в отношении списка а1, а2, ...
таким образом получим множество всех натуральных чисел.
построим число b диагональной процедурой, а именно: если в i-ом разряде
стоит 0 заменим его на 1, 1 заменим на 0 (ясно, что полученное число будет натуральным,
т.к. имеет хотя бы 3-ий значащий разряд)
Очевидно, что полученное число b отличается от каждого числа в списке а1, а2, ...
значением i-го разряда. Значит, никакое счетное множество натуральных чисел не исчерпывает множества натуральных чисел.
Множество натуральных чисел несчетно.

[Xaositect]

Полученная последовательность b не является записью натурального числа, так как начиная с некоторого момента содержит только единицы.

[qverin345]

и почему оно из-за этого перестает быть натуральным числом?

[Xaositect]

qverin345 писал(а):

и почему оно из-за этого перестает быть натуральным числом?

Натуральное число в двоичной системе - это конечная последовательность нулей и единиц. Натуральные числа, если их записывать "наоборот", как у Вас, должны заканчиваться бесконечной последовательностью нулей.

[qverin345]

воспользуемся абстракцией завершенной бесконечности к числу b - получим натуральное число

[Xaositect]

qverin345 писал(а):

воспользуемся абстракцией завершенной бесконечности к числу b - получим натуральное число

Попробуйте привести пример натурального числа, которое в Вашей записи будет заканчиваться бесконечной последовательностью единиц.

[PAV]

Разумеется ошибка есть, поскольку "доказывается" заведомо неверное утверждение.

Ошибка указана. Диагональная последовательность не будет конечной, поэтому не соответствует никакому натуральному числу.

Термин "абстракция завершенной бесконечности" не определен. Личное изобретение?

[Черный Евгений]

По определению континуума между двумя его соседними объектами (точками или числами) должно быть нечто, определяемое нами как бесконечно малая величина. Между 1 и 2 находится конечная величина, равная 1, и ничего меньшего быть не может. Есть и другое определение континуума "Между любыми двумя объектами всегда можно вставить, по крайней мере, еще один объект". Что можно вставить между 1 и 2? Не определив для себя что такое континуум, как можно браться за доказательство чего бы то ни было?

[Xaositect]

Черный Евгений в сообщении #150430 писал(а):

По определению континуума между двумя его соседними объектами (точками или числами) должно быть нечто, определяемое нами как бесконечно малая величина. Между 1 и 2 находится конечная величина, равная 1, и ничего меньшего быть не может. Есть и другое определение континуума "Между любыми двумя объектами всегда можно вставить, по крайней мере, еще один объект". Что можно вставить между 1 и 2? Не определив для себя что такое континуум, как можно браться за доказательство чего бы то ни было?

Бред.

[shAtter]

Черный Евгений писал(а):

По определению континуума между двумя его соседними объектами (точками или числами) должно быть нечто, определяемое нами как бесконечно малая величина.

Бред. А как же рациональные числа? Их мощность тоже континуум?