Остаток с знаком по нечётному модулю.

[Tot]

В программировании часто используют целочисленные переменные с знаковым старшим битом.
Там всегда переменные по модулю степени двойки. И возникают два нуля: положительный и отрицательный.
Мне же в алгебре понадобились остатки с знаком, но чтобы нуль был один.
Поэтому ввожу конструкцию $\mod_s$. Индекс означает первую букву слова "знак" на латыни.
Для примера рассмотрим $\mod_s 17$. $0$ - единственный нуль, $1..8$ - положительные числа, $9..16$ - отрицательные, $16$ при этом является минус единицей. Если результат арифметической операции не удовлетворяет по знаку, то такой знак меняем на противоположный. $2+8 \mod_s 17\equiv 7$, $4\cdot 8 \mod_s 17\equiv 2$.
Достоинством такой конструкции является единственный квадратный корень из биквадрата.
Недостатком является необходимость при сложении разнознаковых переменных заранее знать, которая из них больше.
Есть ли здесь ещё подводные камни, которые я не отметил?
Есть ли у такой конструкции устоявшееся обозначение, применялась ли она где-либо при доказательствах?

[iifat]

Недопол. Вы про алгебру, или про программирование? Если про арифметику остатков, то там нет знаков, положительных и отрицательных. Там есть представители классов эквивалентности по модулю. То бишь, беря для примера 17, есть класс $\{\dots-17,0,17,34\dots\}$ и в качестве обозначения берётся любое число. Так что операции можно производить с представителями 17, 1, 36 и т.д. Никаких проблем с двумями нулями не возникает, но корней квадратных в общем случае таки два. Что именно за арифметикой вы занимаетесь, не понял, как и с чего вдруг $2+8$ дают $7$. Уж либо $-7$, либо $10$, либо, наконец, $27$, но никак не $7$

[arseniiv]

+++++++ и про арифметику в кольцах вычетов, и про ничего не понял.

Tot в сообщении #1488820 писал(а):

Там всегда переменные по модулю степени двойки. И возникают два нуля: положительный и отрицательный.

По-моему во всех мейнстримных процессорах для представления знаковых целых используется дополнительный код, и тогда нуль один; число с кодом 11…11 как раз будет минус единицей, а число с кодом 10…00 будет наименьшим представимым, которое по абсолютной величине на 1 больше наибольшего представимого числа 01…11. Сложение (и вычитание) и умножение в дополнительном коде — это в точности операции в кольце вычетов $\mathbb Z/2^n \mathbb Z$.

А два нуля существуют в стандарте IEEE 754 форматов представления чисел с плавающей запятой.

[Tot]

Пример с программированием вышел не совсем удачным.
Про алгебру я.
Рассматривал нечётный ВТФ или, для солидности, случай без биквадратов гипотезы Биля. Подыскивал варианты, где они рассматриваются одинаково.
Использовал рассмотрение этих задач по модулю, чтобы положительные по определению переменные ограничить сверху с целью получения дополнительного ограничения.
При использовании модуля в виде степени двойки очень интересные, но бесполезные преобразования получаются. Интересны они из-за красивой структуры, связанной с функцией Эйлера в виде степени двойки. А бесполезны из-за того, что при извлечении квадратного корня из биквадрата получаются два корня, а на множестве целых чисел не может квадрат быть отрицательным числом.
Пытаюсь видоизменить операцию взятия остатка, указанным выше способом.
Часть остатков назначить положительными, часть отрицательными. У положительного целого числа должен быть всегда положительный остаток, сумма двух положительных чисел даёт всегда число с положительным остатком и так далее. Такое изменение операции взятия остатка ничем мне не поможет при модуле в виде степени двойки из-за двух нулей, а вот по модулю простого Ферма в предположении бесконечного количества таких чисел просматривается перспектива.
Конструкция, мной вводимая, более бедная, чем кольцо вычетов, но обладает нужным мне свойством. Если проведу цепочку алгебраических выражений с контролем на каждом шаге знака у каждой операции сначала вверх, потом обратно вниз по лестнице бесконечного спуска,
то ошибок не будет?

[iifat]

Всё это очень блаародно, но как там насчёт баб восемь плюс два по модулю семнадцать? Скоко-скоко и почему-почему?

[Tot]

Tot в сообщении #1488820 писал(а):

Для примера рассмотрим $\mod_s 17$. $0$ - единственный нуль, $1..8$ - положительные числа, $9..16$ - отрицательные, $16$ при этом является минус единицей. Если результат арифметической операции не удовлетворяет по знаку, то такой знак меняем на противоположный. $2+8 \mod_s 17\equiv 7$

$2+8 \mod 17\equiv 10 \equiv -7$
$10$- число у меня отрицательного, а должно быть положительное, поэтому поменяю знак.
Было $-7$, стало $7$.
$2_++8_+ \mod_s 17\equiv 7_+$
Знак "+" или "-" в индексе означает, что число, переменная или выражение, к которому он относится, является строго положительным или соответственно строго отрицательным, исходя из определения или предыдущих алгебраических выражений.

[iifat]

У Сапковского, кажется: «Похоже на утку, но не совсем утка — это не утка» (хотя у Сапковского фигурировала не утка).
Берём равенство, а потом просто меняем знак у одной половины — это, знаете, похоже на математику, но не совсем математика.
Либо вы берёте модулярную арифметику и пользуетесь тем, что в этой области наработано — либо строите свою теорию. Пока не вижу ни того, ни другого.

[Tot]

iifat в сообщении #1488971 писал(а):

Берём равенство, а потом просто меняем знак у одной половины — это, знаете, похоже на математику, но не совсем математика.

Не согласен, там же меняется дефиниция операции.
Лучше сказать неизвестная математика, но обойдёмся без философского диспута.

Приведу такой довод.
Вот целое число можно рассматривать как комплекс из упорядоченного бесконечного множества( наверно каламбур, но более точного понятия не подобрал) бит модуля и одного бита знака, который расположен по отношению к множеству не важно как.
Мне нужен всего лишь конечнобитный аналог этого комплекса с единым представлением положительного и отрицательного нулей.
В модулярной арифметики допустимо либо представление половины остатков положительными числами, а другой половины отрицательными, либо представление всех остатков числами одного знака. Если я все действия по предлагаемой операции буду проводить с условием обращения внимания на размер и знак их целочисленных оригиналов (по ним устанавливать
знак операции), то ошибок возникнуть не должно, по крайней мере не вижу никаких оснований для их возникновения.
Впрочем, если не удастся объясниться на пальцах, придётся отложить до примера.

[iifat]

Tot в сообщении #1488975 писал(а):

неизвестная математика

Не бывает неизвестных математик. Бывает набор определений и теорем — это известная математика (не «математика, известная на текущий момент», а известная вполне себе математика). И бывает неоформленный поток сознания. Вы так и не приступили к переводу второго в первый. Начните, например, со строгого определения нужной вам операции.

[Someone]

В кольцах вычетов нет положительных и отрицательных.
По поводу уравнения $x^n+y^n=z^n$ известно, что оно имеет решения по любому модулю, а также в полях $p$-адических чисел.

[Tot]

Someone, некоторое время назад Вы уже пытались наставить неразумного на путь истинный.

Новая операция наверное рушит операцию сложения, но с оговорками сохраняет операции умножения и возведения в степень.

Тайм-аут на несколько дней. К следующему разу подготовлю математическое описание, как его понимаю, и сведение кубического ВТФ к гипотезе о бесконечности простых Ферма.