подготовка к олимпиаде

[rsoldo]

Let $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ equation with real coefficients. Prove:

$x_{i}<0,i=1,2,3,4\Longleftrightarrow a>0,b>0,c>0,d>0,abc-a^{2}d-c^{2}>0$

[maxal]

rsoldo, it follows from Vieta's formulas.

[Farest2]

Или из критерия Льенара-Шипара в теории устойчивости (дифуры). Более точно, $\operatorname{Re} (x_i)<0$.

[rsoldo]

Yes, it follows from thoseformulas, but inequality $abc-a^2d-c^2>0$ does not follow immediately. It needs to be proven.

[mihiv]

Неравенство $abc-a^2d-c^2>0$ выполняется, если $c_1=\dfrac {ab(1-\sqrt {1-t})}2<c< \dfrac {ab(1+\sqrt {1-t})}2=c_2, t=\dfrac {4d}{b^2}\eqno (1).$
Докажем несколько вспомогательных неравенств:

$$b\geq 6\sqrt d,(AM,GM) \text {отсюда} t<\dfrac {4d}{36d}=\frac 19$$

$$\sqrt {1-t}>1-\frac12 t-\frac 18t^2-\dots>1-\frac 12t-\dfrac {t^2}{1-t}>1-\frac 58t,\eqno (2) (t<\frac 19).$$

Заменяя $\sqrt {1-t}$ в (1) с помощью неравенства (2) получим:

$$c_1<\frac 5{16}abt=\frac 54\dfrac {ad}b=c_3$$

Еще два неравенства, которые очевидны, если записать коэффициенты полинома 4-й степени как функции его корней:

$$c<\dfrac {ab}2=c_4, c>\dfrac 54\dfrac {ad}b=c_3$$

.То есть на самом деле для $c$ выполняются неравенства:

$$c_1<c_3<c<c_4<c_2$$

, а значит в силу (1) и неравенство $abc-a^2d-c^2>0$.

[novichok2018]

Предлагаю доказательство "грубой силой", компьютерной. В выражение $abc-a^2d-c^2$ тупо подставляем выражения всех коэффициентов по Виету через корни. Скармливаем МАТЕМАТИКЕ, и после FullSimplify получаем волшебным образом разложение этого выражения на множители. Получается произведение 6 скобок, каждая содержит сумму из двух корней. Корни отрицательные, скобок всего 6 - следовательно, выражение положительно.
Интересно обобщение на более высокие степени. И ещё- попробовать получить доказательство из системы неравенств, которые составляют теорему Гюа.
Можно получать очевидные обобщения. Взять для степени 4 произведения не сумм по два корня, а по три. Для уравнения 5й степени можно пойти с конца - взять произведения сумм пар корней, выразить через коэффициенты - тоже получится положительный агрегат из коэффициентов. Так же для любой степени. И тд.
В общем виде задача выглядит так. Дан устойчивый многочлен, описать все полиномы данной степени от его коэффициентов, которые являются положительными. Представляется нерешаемой. Тогда хотя бы для степеней полиномов 2,3,4. Если сузить для отрицательных корней, то получается задача для описания положительных симметричных функций от них указанной степени. Не знаю такого описания, может подскажут здесь.

[novichok2018]

Вот вычисление МАТЕМАТИКИ, про которое я говорил выше. Обозначено $u,v,r,s$ - корни уравнения.

$$ abc-a^2d-c^2=(u+v+r+s)(uv+ur+us+vr+vs+rs)(vrs+urs+uvs+uvr)- $$

$$ -(u+v+r+s)^2uvrs - (vrs+urs+uvs+uvr)^2= $$

$$ =(r+s) (r+u) (s+u) (r+v) (s+v) (u+v) $$

А почему звёздочку то нельзя использовать как умножение, чтобы всем хуже было?