[ТеорВер] Помогите разобрать условие задачи по схем Бернулли

[mekuto]

Здравствуйте.

Условие задачи: Вероятность наступления события в одном испытании 0,125. Вероятности наступления одного события и одного события в серии испытаний равны. Сколько испытаний в серии?

Предполагаемый ответ: 7.

Возможная закономерность: $p=\frac{1}{8}=0,125$, где $p$ вероятность наступления события $A$. Следовательно, вероятность не наступления события $A$ является $q$, и $q=1-p=\frac{7}{8}$. Схема Бернулли для $n$ испытаний, в $k$ случаях которых событие $A$ наступило имеет вид $P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k}$. В случае 7 испытаний есть такое равенство: $C_7^0 p^0 q^7 = C_7^1 p^1 q^6$, т.е. $7 \cdot \frac{1}{8}^0 \frac{7}{8}^7 = 7 \cdot \frac{1}{8}^1 \cdot \frac{7}{8}^6$. Можно заметить, что ответом является: знаменатель вероятности наступления события за вычитанием единицы.

Есть остальные (2) задачи с таким же условием, но разными вероятностями наступления события A. В них, если верить ответам, данная закономерность подтверждается.

Что непонятно: "Вероятности наступления одного события и одного события в серии испытаний равны. Сколько испытаний в серии?" Одно событие наступает с вероятностью $p$, а одного события в серии испытаний с вероятностью наступления $P_n(1)=C_n^1 p^{1} q^{n-1} = n \cdot p^{1} q^{n-1}$. Если они равны, то $p = n \cdot p^{1} q^{n-1} \Rightarrow 1 = n \cdot q^{n-1}$. Следовательно, ответ $n = 1$. Что не сходит с существующими ответами (решение для них не приводится), и "серия испытаний" говорит о том, что испытаний больше, чем 1.

Помогите понять условие задачи.

Спасибо.

[mihaild]

Задача плохо сформулирована. Видимо, имелась в виду какая-то задача с ответом $\frac{p}{1 - p}$, но какая - сказать нельзя.

[svv]

Уравнение $nq^{n-1}=1$ при $q=\frac 7 8$ имеет и второе решение, $n\approx 25.15$. Будь оно целым, это была бы неплохая версия того, что, предположительно, хотел автор задачи.