Уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно

[Vladimir Pliassov]

1.

Цитата из http://cyclowiki.org/wiki/%D0%A3%D1%80% ... 0%BE%D0%B9

Цитата:

Уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой, задаётся равенством нулю смешанного произведения векторов-разностей (радиусов-векторов соответствующих точек) и направляющего вектора прямой.

...
Обозначения
Введём обозначения:

$\overline r=(x,y,z)$
— радиус-вектор точки плоскости;

$\overline r_1=(x_1,y_1,z_1)$
— радиус-вектор первой точки;


$\overline r_2=(x_2,y_2,z_2)$
— радиус-вектор второй точки;

$\overline s_3=(l_3,m_3,n_3)$
— направляющий вектор прямой.

Формулы:
Векторная форма:

$(\overline r-\overline r_1)(\overline r_2-\overline r_1)\overline s_3=0$

Разве здесь не должно быть дополнительного условия $(\overline r_2-\overline r_1)\nparallel \overline s_3?$ Ведь без этого условия плоскость будет свободно вращаться вокруг прямой, проходящей через точки, радиус-векторами которых являются $\overline r_1, \overline r_2$, то есть не будет определена.

2.

Также и под уравнением плоскости, проходящей через точку и прямую, очевидно, имеется в виду уравнение плоскости, проходящей через прямую и не лежащую на ней точку.

[iifat]

Да. Потому и не советуют изучать предмет по разнообразным викам. В учебниках таки меньше подобных недоговорок. Вики — только чтобы вспомнить то, что уже знал.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо.

[Pphantom]

Ну вообще-то можно заметить, что единственности никто не обещал.

[iifat]

Нет, не обещал. Но, согласитесь, «решить уравнение $0x=0$» смотрится несколько странно (виноват, исправил).

[ewert]

iifat в сообщении #1487810 писал(а):

Потому и не советуют изучать предмет по разнообразным викам. В учебниках таки меньше подобных недоговорок.

Это не недоговорки. Это просто честное объяснение того, как решать подобную задачу, если она вдруг выпадет. А если она выпадет, то числа будут предложены вполне конкретные, и к чему тогда особые случаи.

Вот что там действительно викибредово, так это обозначения. Почему $s_3$ -- именно третья? почему не семнадцатая (согласитесь, что так было бы гораздо логичнее)? И почему именно эс, а не мягкий знак? Да и запись смешанного произведения -- изо всех мыслимых вариантов выбран максимально неудачный.

[arseniiv]

Pphantom в сообщении #1487814 писал(а):

Ну вообще-то можно заметить, что единственности никто не обещал.

Тут действительно есть проблема, что тогда получается уравнение всего пространства, а не просто произвольной плоскости, проходящей через те точки.

К счастью неуказание условий применимости всё равно не так плохо, потому что можно это более или менее легко углядеть по той формуле, которую я перепишу в нормальных терминах $(X - A)\wedge(X - B)\wedge\mathbf r = 0$: $(X - A)\wedge(X - B) = (A - B)\wedge(A - X)$, и если $\mathbf r\parallel A - B$, то $(A - B)\wedge\mathbf r\equiv 0$ независимо от $X$.

[Vladimir Pliassov]

arseniiv в сообщении #1487862 писал(а):

Pphantom в сообщении #1487814 писал(а):

Ну вообще-то можно заметить, что единственности никто не обещал.

Тут действительно есть проблема, что тогда получается уравнение всего пространства, а не просто произвольной плоскости, проходящей через те точки.

То есть без условия $(\overline r_2-\overline r_1)\nparallel \overline s_3$ равенство $(\overline r-\overline r_1)(\overline r_2-\overline r_1)\overline s_3=0$ остается справедливым, но оно не может называться уравнением плоскости, потому что не определяет плоскость.

[svv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1487911 писал(а):

То есть без условия $(\overline r_2-\overline r_1)\nparallel \overline s_3$ равенство $(\overline r-\overline r_1)(\overline r_2-\overline r_1)\overline s_3=0$ остается справедливым

А как Вы обобщаете на случай $(\overline r_2-\overline r_1)\parallel \overline s_3$ вопрос, ответом на который является это равенство? В вырожденном случае условием чего должно быть это равенство?

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1487916 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1487911 писал(а):

То есть без условия $(\overline r_2-\overline r_1)\nparallel \overline s_3$ равенство $(\overline r-\overline r_1)(\overline r_2-\overline r_1)\overline s_3=0$ остается справедливым

А как Вы обобщаете на случай $(\overline r_2-\overline r_1)\parallel \overline s_3$ вопрос, ответом на который является это равенство? В вырожденном случае условием чего должно быть это равенство?

При $(\overline r_2-\overline r_1)\parallel \overline s_3$ векторное произведение $[\overline r_2-\overline r_1, \overline s_3]$ равно нулевому вектору: $[\overline r_2-\overline r_1, \overline s_3]=\overline 0$.

Получаем $(\overline r-\overline r_1, \overline 0)=0$.

Какую фигуру определяет это равенство? Фигуру, радиус-векторы всех точек которой ему удовлетворяют (имеются в виду радиус-векторы $r$), то есть (как сказал arseniiv) все пространство.

Верно?

[svv]

Смотря как Вы будете интерпретировать полученный результат.
При $\mathbf r_2-\mathbf r_1 \parallel \mathbf r_3$ любая точка пространства принадлежит некоторой плоскости, проходящей через точки $\mathbf r_1,\mathbf r_2$ и параллельной $\mathbf r_3$.
Но даже в этом случае не любая мыслимая плоскость проходит через точки $\mathbf r_1,\mathbf r_2$ и параллельна $\mathbf r_3$.

-- Пн окт 19, 2020 17:43:18 --

Собственно, потому я и просил Вас уточнить, ответом на какой вопрос в вырожденном случае является уравнение $(\mathbf r-\mathbf r_1, \mathbf r_2-\mathbf r_1, \mathbf r_3)=0$.

В невырожденном случае, выделяя некоторое множество «подходящих» точек пространства
$\alpha=\{\mathbf r\in \mathbb R^3: (\mathbf r-\mathbf r_1, \mathbf r_2-\mathbf r_1, \mathbf r_3)=0\}, $
Вы тем самым выделяли ровно одну плоскость из множества всех плоскостей. В вырожденном же множество точек, удовлетворяющих уравнению, совпадает со всем пространством, но это вовсе не означает, что и любая плоскость удовлетворяет условиям.

-- Пн окт 19, 2020 18:12:04 --

Поэтому если вопрос был таким:
«Записать уравнение, определяющее, какие плоскости удовлетворяют условиям (проходят через $\mathbf r_1, \mathbf r_2$ и параллельны $\mathbf r_3$), а какие не удовлетворяют»,
то ответ — нет, неверно.

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1487941 писал(а):

Смотря как Вы будете интерпретировать полученный результат.
При $\mathbf r_2-\mathbf r_1 \parallel \mathbf r_3$ любая точка пространства принадлежит некоторой плоскости, проходящей через точки $\mathbf r_1,\mathbf r_2$ и параллельной $\mathbf r_3$.
Но даже в этом случае не любая мыслимая плоскость проходит через точки $\mathbf r_1,\mathbf r_2$ и параллельна $\mathbf r_3$.

-- Пн окт 19, 2020 17:43:18 --

Собственно, потому я и просил Вас уточнить, ответом на какой вопрос в вырожденном случае является уравнение $(\mathbf r-\mathbf r_1, \mathbf r_2-\mathbf r_1, \mathbf r_3)=0$.

В невырожденном случае, выделяя некоторое множество «подходящих» точек пространства
$\alpha=\{\mathbf r\in \mathbb R^3: (\mathbf r-\mathbf r_1, \mathbf r_2-\mathbf r_1, \mathbf r_3)=0\}, $
Вы тем самым выделяли ровно одну плоскость из множества всех плоскостей. В вырожденном же множество точек, удовлетворяющих уравнению, совпадает со всем пространством, но это вовсе не означает, что и любая плоскость удовлетворяет условиям.

При $(\overline r_2-\overline r_1)\parallel \overline s_3$) условиям удовлетворяет любая плоскость, проходящая через точки $ r_1, r_2$.

Это можно рассмотреть без формул на примере двери. Если, грубо говоря, точки $ r_1, r_2$ поместить на ее петлях и вращать ее, то она в любом положении будет параллельна какой-нибудь палке ($s_3$), расположенной параллельно оси петель.

При этом она не может вращаться иначе, чем вокруг своих петель, что подтверждает Ваше положение, что не любая плоскость удовлетворяет условиям.

При $(\overline r_2-\overline r_1)\parallel \overline s_3$ уравнение $(\overline r-\overline r_1)(\overline r_2-\overline r_1)\overline s_3=0$ определяет, так сказать, неопределенную плоскость, проходящую через точки $ r_1, r_2$, то есть оно годится для любой из плоскостей, проходящих через эти точки.

Оно не является уравнением пучка плоскостей, поскольку уравнение пучка плоскостей определяет каждую из плоскостей, а уравнение $(\overline r-\overline r_1)(\overline r_2-\overline r_1)\overline s_3=0$ (при $(\overline r_2-\overline r_1)\parallel \overline s_3$) не определяет ни одной плоскости.

Если представить $(\overline r-\overline r_1)(\overline r_2-\overline r_1)\overline s_3=0$ в виде $(\overline r-\overline r_1, \overline 0)=0$, то, как видим, $\overline r_2$ просто исчезает, и тогда вообще не приходится говорить о плоскостях, проходящих через точки $ r_1, r_2$.

Однако, возможно, есть смысл при $(\overline r_2-\overline r_1)\parallel \overline s_3$ представлять уравнение именно в виде $(\overline r-\overline r_1)(\overline r_2-\overline r_1)\overline s_3=0$, а не в виде $(\overline r-\overline r_1, \overline 0)=0$, для того, чтобы показать, что мы рассматриваем пространство состоящим не из точек, а из плоскостей, проходящих через точки $ r_1, r_2$.

[Pphantom]

Vladimir Pliassov, ваша проблема в отсутствии четкой формулировки поставленной задачи и целей ее решения.

Если она формулируется так, как в исходном сообщении темы, то процитированное там же решение в общем-то корректно - оно задает все точки, удовлетворяющие заданным условиям, а то, что такая плоскость не является единственной, в условии не оговаривалось. Если посмотреть на источник информации, использованный на указанном вами сайте, то это известнейший справочник Корнов для инженеров - если угодно, можно считать, что к каждому такому утверждению сделана неявная приписка "предполагается, что решение существует и его осмысленность, единственность и т.п. постановщику задачи известны из каких-то внешних соображений". Если же вам хочется действительно математически безукоризненное решение - не надо пользоваться такими источниками, они не для этого создавались.

[Vladimir Pliassov]

Pphantom в сообщении #1487984 писал(а):

Vladimir Pliassov, ваша проблема в отсутствии четкой формулировки поставленной задачи и целей ее решения.

Если она формулируется так, как в исходном сообщении темы, то процитированное там же решение в общем-то корректно - оно задает все точки, удовлетворяющие заданным условиям, а то, что такая плоскость не является единственной, в условии не оговаривалось. Если посмотреть на источник информации, использованный на указанном вами сайте, то это известнейший справочник Корнов для инженеров - если угодно, можно считать, что к каждому такому утверждению сделана неявная приписка "предполагается, что решение существует и его осмысленность, единственность и т.п. постановщику задачи известны из каких-то внешних соображений". Если же вам хочется действительно математически безукоризненное решение - не надо пользоваться такими источниками, они не для этого создавались.

Спасибо.

Хотел бы сказать, что я благодарен всем авторам учебников, статей, сообщений и т.п. за получаемую информацию, но иногда у меня возникают вопросы, и я рад, что у меня есть возможность задать их на этом сайте.



Вот, кстати, еще два случая однозначности определения плоскости.


1.Уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой -

прямые не должны быть параллельны.


2. Уравнение плоскости $\alpha$, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости $\beta$-

прямая не должна быть перпендикулярна плоскости $\beta$.