Векторы в пространстве

[christineadams]

Условие задачи:
в пространстве есть четыре вектора, проведенные из общего начала. Каждый вектор образует с тремя другими равные углы. Нужно найти этот угол.

Мои попытки:
Пусть эти вектора равны и единичны. Следовательно, все расстояния между их концами одинаковые. Можно построить четырехугольную пирамиду. Боковые грани - равные треугольники, треугольники построенные на диагоналях основания тоже должны быть им равны. Но тогда по построению никак не получается, что все углы между первоначальными векторами равны. Хотя бы один будет отличаться (т.к. в основании получится ромб, а диагонали у него не равны друг другу).

А как тогда решать? Через уравнения? Через них не очень понятно, как идти (слишком много получится)

[Xaositect]

christineadams в сообщении #1487572 писал(а):

Можно построить четырехугольную пирамиду.

Почему четырехугольную?

[christineadams]

Xaositect в сообщении #1487573 писал(а):

Почему четырехугольную?

а какую?
Просто у меня же 4 вектора, проведены из одной точки (из вершины пирамиды). Поэтому четырехугольная. Или я в чем то тут ошибаюсь?

[Xaositect]

А, Вы начало тоже учитываете. Тогда это неправильно, потому что у пирамиды все вершины основания в одной плоскости лежат, а для наших 4 векторов это не обязательно будет верно.
Рассмотрите лучше многогранник, у которого 4 вершины - концы векторов.

[alisa-lebovski]

На самом деле, они проведены из центра пирамиды, например, один вверх, другие вниз.

[christineadams]

alisa-lebovski в сообщении #1487578 писал(а):

На самом деле, они проведены из центра пирамиды, например, один вверх, другие вниз.

А как тогда угол найти?
В этом случае лучше тетраэдр взять?

[svv]

christineadams в сообщении #1487579 писал(а):

лучше тетраэдр взять

Именно. Кстати, тетраэдр можно рассматривать как пирамиду (только не четырёхугольную, о чём говорили выше).

Какой тетраэдр возьмёте?

[christineadams]

svv в сообщении #1487582 писал(а):

Какой тетраэдр возьмёте?

правильный?

[svv]

Да. Как это доказать?

christineadams в сообщении #1487572 писал(а):

Пусть эти вектора равны и единичны.

Равенство векторов — тоже интересный случай, но автор задачи имел в виду не его. Равны только по длине, т.е. не равны.

[ewert]

christineadams в сообщении #1487572 писал(а):

А как тогда решать? Через уравнения? Через них не очень понятно, как идти (слишком много получится)

Это смотря какие уравнения составлять.

Да, действительно, векторы лучше считать единичными.
Из соображений симметрии ясно, что четвёртый вектор пропорционален сумме трёх первых.
Тогда у Вас ровно два неизвестных: коэффициент пропорциональности и косинус угла между векторами.
Нужно составить для них два уравнения.

Ну так очевидно же -- потребуйте:
1) чтобы длина четвёртого была равна тоже единице, и
2) чтобы косинус его угла с каким-нибудь из первых равнялся косинусу для первых.

[redicka]

christineadams,поступите так:
- в плоскости ХОУ возьмите три равных по модулю вектора, расположенных под углом в 120 градусов друг к другу.
- добавьте к ним третью координату, одинаковую дляу трех векторов - z
- четвертый вектор направьте по оси ОZ (любой длины в положительном направлении)
- составьте скалярные произведения каких-либо двух векторов из первого пункта и скалярное произведение любого вектора из первого пункта с четвертым вектором.
- приравняйте эти скалярные произведения, получите одно уравнение относительно координаты z.
- решите уравнение - найдете z.
-подставьте найденное z в любой из трех векторов из пункта 1.
-найдите угол между четвертым вектором и вектором из предпоследнего пункта - получите искомый угол.
Тетраэдер - это грубая подсказка.

[ewert]

Вообще-то лучше не мелочиться, а решать задачу сразув $\mathbb R^n$ и искать для соответствующих единичных векторов $\vec e_1,\vec e_2,\ldots,\vec e_{n+1}$ косинус угла между ними $c=(\vec e_i,\vec e_k)$.

Эти векторы заведомо линейно зависимы: $\gamma_1\vec e_1+\gamma_2\vec e_2+\ldots+\gamma_{n+1}\vec e_{n+1}=\vec0$. Скалярно умножая это равенство последовательно на каждый из векторов, получим для коэффициентов $\gamma_i$ однородную систему линейных уравнений с матрицей

$$\begin{pmatrix}1&c&c&\ldots\\c&1&c&\ldots\\c&c&1&\ldots\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix}$$

У этой матрицы есть очевидный собственный вектор $\vec u=(1,1,\ldots,1)^{\mathtt T}$. И именно он должен давать решение системы, поскольку у всех остальных собственных векторов собственные числа $1-c\neq0$ (матрица есть линейная комбинация единичной матрицы и матрицы ортогонального проектирования на $\vec u$). Отсюда сразу же получаем искомый косинус плюс кое-что ещё, заранее не очевидное.

Правда, это ещё не доказывает, что такой набор векторов действительно существует, с этим пришлось бы немного повозиться. Но ведь в задачке такого доказательства и не запрашивалось!

[StepV]

christineadams в сообщении #1487572 писал(а):

Пусть эти вектора равны и единичны.

Тогда каждые три вектора образуют трехгранную пирамиду. Если точка О - общая для векторов, то концы трех векторов образуют равносторонний треугольник АВD. Зная модули векторов, то по теореме косинусов легко вычисляются стороны, допустим, AB и BD. Т.к. AB = BD, то вычитая одно уравнение из другого, мы получаем выражение для косинуса угла между векторами через модули векторов. И решаем это уравнение.

[ewert]

Ну если уж использовать только школьную стереометрию, то проще иначе. Общее начало четырёх векторов -- это точка пересечения высот правильного тетраэдра. Эта точка известно в каком отношении делит каждую высоту (весь тетраэдр разбивается на четыре одинаковых неправильных). Тем самым нижняя часть высоты известна, и это катет в прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого является один из трёх других векторов. Отсюда сразу и угол.

[svv]

Ещё один способ.
Возьмём куб с центром в начале координат, все координаты всех вершин $\pm 1$.
Из 8 вершин куба удачно выбранные 4 будут вершинами правильного тетраэдра.
Остаётся найти угол между, например, векторами $(1,1,1)$ и $(1,-1,-1)$.