Единообразная запись четырех условий

[DLL]

Надо решить два простых уравнения

$$ -\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \frac{\partial g}{\partial y} = 0, $$

и

$$ -\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial g}{\partial x} = 0. $$

С условием

$$f_x g_y-f_y g_x\neq 0.$$

Первое уравнение легко переписать в виде $(f_y / g_y)_y = 0$, отсюда

$$f = C_1(x) g + C_2(x), g_y \neq 0.$$

Всего получается четыре возможных комбинации - можно ли их как-то переписать единым образом?

[ИСН]

Это два отдельных уравнения или система уравнений? И какие такие комбинации?

[DLL]

Да, это система двух уравнений.
Я имею ввиду может быть $(f_y / g_y)_y = 0$ или $(g_y / f_y)_y = 0$, так как обе нулю быть равными не могут быть из-за неравенства.
И то же самое для второго уравнения системы.

[svv]

Вообразите координаты $(f,g)$. Способов записать связь между $f$ и $g$, вытекающую из первого уравнения, много (Вы указали один из них), но все они сводятся к тому, что точка $(f(x,y),g(x,y))$ лежит на прямой, зависящей только от $x$. Можно сказать, способов этих столько же, сколько существует способов задать прямую на плоскости.

Аналогично, из второго уравнения следует, что точка $(f(x,y),g(x,y))$ лежит также на другой прямой, зависящей только от $y$.

Пересечение этих прямых и даёт $f(x,y)$ и $g(x,y)$.