Принцип максимума модуля для непрерывной функции

[TelmanStud]

Доброго времени суток!
Верно ли, что непрерывная (не обязательно голоморфная) в области $G$ функция $w=f(z)\ne \text{const}$ не может иметь максимума
внутри этой области, т.е.
не существует $z_0 \in G\, $ такой, что для всех $ z\in G $ выполняется $|f(z_0)|\ge|f(z)|$?

Как я понимаю непрерывная функция должна отображать области в области.(?!)
Если так, то куда бы не отобразилась точка $z_0\in G$, всегда найдется $z\in G$, что образ $z$ стоит дальше начала координат, чем образ $z_0$ т.е. $ |f(z)|\ge|f(z_0)|$.

Так как в литературе встречается только принцип максимума только для голоморфных функций, то предполагаю, что ошибка в этой строчке:

Цитата:

Как я понимаю непрерывная функция должна отображать области в области.(?!)

или может еще где.

Буду благодарен за любые разъяснения.

[Null]

$-|z|$ в единичном круге?

[TelmanStud]

Null
Спасибо!

[demolishka]

TelmanStud в сообщении #1486602 писал(а):

непрерывная функция должна отображать области в области

Это даже для $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ не верно: $f(x)=x^2$. Если потребовать инъективности для непрерывного отображения $f \colon G \subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$, то есть теорема Брауэра об инвариантности области.

[TelmanStud]

demolishka в сообщении #1486741 писал(а):

Это даже для $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ не верно: $f(x)=x^2$. Если потребовать инъективности для непрерывного отображения $f \colon G \subset \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$, то есть теорема Брауэра об инвариантности области.

Т.е. для истинности принципа максимума модуля достаточно, чтобы отображение было инъектиным?
Можно ли тогда сказать, что оно не следствие интегральной формулы Коши?

[demolishka]

TelmanStud в сообщении #1487170 писал(а):

Можно ли тогда сказать, что оно не следствие интегральной формулы Коши?

Нельзя. Принцип максимума модуля есть следствие открытости, которая есть следствие голоморфности, которая равносильна выполнению интегральной формулы Коши. Голоморфные функции не обязательно инъективны.