Деление числа на сумму чисел

[GaussBreaker]

Доброго времени, дамы и господа !

Разбирал деление многочленов, решил осмыслить, как можно по шагам разделить одно число на другое, если эти числа представлены суммами.
Для начала возьмём пример, где сумма только в числителе $\frac{3 + 5}{ 4}$ . То, что это равно 2 понятно ещё с первого (или со второго ?) класса. Попробуем пошагово разделить. Разделим вначале первое слагаемое, затем второе и сложим полученный результат $\frac{3 + 5} {4} = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} = 0,75 + 1,25 = 2$. То есть мы сосчитали сколько раз величина, равная четырём единицам "умещается" в величинах, равных трём и пяти соответственно. Выглядит просто и понятно.
Дальше вместо числа в знаменателе берём сумму, к примеру, $\frac{ 3 + 5 }{ 3 + 1 }$. Мне казалось, что всё должно быть просто. Таким же образом разбиваем $\frac{ 3}{3 + 1 } + \frac{ 5}{3 + 1 }$ . И ещё раз $\frac{3}{3} + \frac{3}{1} + \frac{5}{3} + \frac{5}{1} = 1 + 3 + 1,666 + 5 = 10$ . Приехали. Можно также разделить только на первое слагаемое знаменателя и на второе, но тут тоже приехали $ \frac{3+5}{3} + \frac{3+5}{1} = 10,666 $.

Рассмотрения и рассуждения не помогли. Очевидно, что вопрос сводится к продолжению свойства дистрибутивности деления - нам известно, что деление дистрибутивно справа для суммы $ \frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} $ и для разности аналогично, но что делать, если в знаменателе сумма $ \frac{a+b}{c+d} $ ?

Как правильно пошагово выполнить деление ?

Дальше вопрос, как выполнить деление пошагово так, как если бы вместо чисел были переменные. Это должно вытекать из примеров с числами.

[Lia]

GaussBreaker в сообщении #1486517 писал(а):

Как правильно пошагово выполнить деление ?

Сложить два числа в знаменателе и свести вторую задачу к первой.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

хотя полный ответ уже был дан.

[gris]

Когда мы практически делим $28658$ на $623$, то воспринимаем операнды именно как суммы. И с прочими операциями так же. Попробуйте написать подробный алгоритм действий с многозначными числами, предполагая наличие таблиц сложения и умножения только для однозначных.

[GaussBreaker]

gris в сообщении #1486531 писал(а):

Когда мы практически делим $28658$ на $623$, то воспринимаем операнды именно как суммы. И с прочими операциями так же. Попробуйте написать подробный алгоритм действий с многозначными числами, предполагая наличие таблиц сложения и умножения только для однозначных.

Спасибо, но это очевидно ! И про то, что любое число можно представить, как сумму (ну примерно точно) и про алгоритм. Алгоритм такой построить можно, но это и есть деление в столбик или что-то вроде того. Но задача не в этом. Задача в том, чтобы вывести закон дистрибутивности только для случая, когда сумма (многочлен) в знаменателе, а не в числителе то есть $ \frac{c}{a+b} = ... $

[gris]

ну я просто не понял вашу цель . В этом поле с дистрибутивностью не очень хорошо. Можно попробовать другое. Или ввести унарную операцию обращения.

[svv]

GaussBreaker в сообщении #1486558 писал(а):

Задача в том, чтобы вывести закон дистрибутивности только для случая, когда сумма (многочлен) в знаменателе

Вы сами понимаете, что в форме $\frac c{a+b}=\frac c a+\frac c b$ никакого закона дистрибутивности нет. Если что-то аналогичное и справедливо, то только в каком-то модифицированном виде. Отсюда вопрос: до какой степени разрешается исправить эту формулу, чтобы Вы всё ещё признали её дистрибутивным законом?

Например,
$\frac {c}{a+b}=\frac c a \oplus \frac c b\,,\quad \frac {c}{a\oplus b}=\frac c a + \frac c b\,,$
где операция $\oplus$ определена так: $x\oplus y=\frac {xy} {x+y}$. Годится?

[GaussBreaker]

svv в сообщении #1486590 писал(а):

GaussBreaker в сообщении #1486558 писал(а):

Задача в том, чтобы вывести закон дистрибутивности только для случая, когда сумма (многочлен) в знаменателе

Вы сами понимаете, что в форме $\frac c{a+b}=\frac c a+\frac c b$ никакого закона дистрибутивности нет. Если что-то аналогичное и справедливо, то только в каком-то модифицированном виде. Отсюда вопрос: до какой степени разрешается исправить эту формулу, чтобы Вы всё ещё признали её дистрибутивным законом?

Например,
$\frac {c}{a+b}=\frac c a \oplus \frac c b\,,\quad \frac {c}{a\oplus b}=\frac c a + \frac c b\,,$
где операция $\oplus$ определена так: $x\oplus y=\frac {xy} {x+y}$. Годится?

До такой степени, чтобы можно было в явном виде получить выражение, дающее верный результат в поле вещественных чисел. То есть чтобы можно было подставить числа и получить частное.

По всей видимости деление в поле вещественных чисел не является дистрибутивным слева (wiki/Дистрибутивность), поэтому и нельзя вывести соответствующее выражение. Но почему так, как это доказать или ?

[gris]

Сложение и умножение коммутативны, а деление нет. Это, конечно, не причина. Но ведь и сложение не дистрибутивно даже к самому себе . Вообще, вопрос интересный. Почему принятые операции умножения и сложения таковы даже в натуральных числах? Наверное, в углубленной теории чисел есть ответ.
А доказать недистрибутивность деления слева по отношению к сложению можно пятью-шестью контрпримерами. Например, $1=12:(6+6)\ne 12:6+12:6=4$.
$2=6:(1+2)\ne 6:1+6:2=9$.
Ну и так далее, пока не надоест.
Для положительных чисел можно строго доказать, используя неравенство СГСА.

[Лукомор]

GaussBreaker в сообщении #1486703 писал(а):

До такой степени, чтобы можно было в явном виде получить выражение, дающее верный результат в поле вещественных чисел. То есть чтобы можно было подставить числа и получить частное.

Чтобы понять, как это работает, сделайте ровно наоборот.
Возьмите выражение :
$\frac{c}{a}+\frac{c}{b}$
приведите к общему знаменателю и посмотрите, что получится.
А потом сравните получившееся выражение с выражением:
$\frac{c}{a+b}$
Ну и, для полного счастья, найдите переводной коэффициент,
чтобы из первого полученного выражения получалось всегда второе.
Как-то так...