2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Рациональные функции A,B,C
Сообщение09.10.2020, 14:54 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
scwec в сообщении #1486050 писал(а):
В этой теме остался пока нерешенным вариант $A^2-B^2=a^2-b^2$

В случае $A^2-B^2=a^2-b^2$, полагая
$A=\frac{x^2-1}{y},B=\frac{2x}{y}, C=\frac{x^2+1}{y},a=\frac{N^2-1}{L},b=\frac{2N}{L},c=\frac{N^2+1}{L}$
получим уравнение $(x^4-6x^2+1)L^2=(N^4-6N^2+1)y^2$. Оно сводится (Maple) к уравнению эллиптической кривой в Вейерштрассовой форме
$w^2=u^3-16L^4{(N^4-6N^2+1)^2}u\qquad(1)$,
где $L=\frac{2a+2c}{b^2}, N=\frac{a+c}{b}\qquad(2)$.
Достаточно просто на этой кривой находится рациональная точка бесконечного порядка
$P=(u,w)=(4L^2{(N^2+1)^2}, 32L^3{N}(N^4-1))$
Переходим (Maple) от $u,w$ к $x,y$. заменяя $L,N$ на их выражения из $(2)$.
Вычисляем $A=|\frac{x^2-1}{y}|, B=|\frac{2x}{y}|, C=|\frac{x^2+1}{y}|$
Получаем искомые формулы
$A=\left|\dfrac{(a^8+6a^4{b^4}-3b^8)a}{2a^8-c^8+2b^8}\right|$,

$B =\left|\dfrac{(3a^8-6a^4{b^4}-b^8)b}{2a^8-c^8+2b^8}\right|$,

$C=\left|\dfrac{(c^8-12a^4{b^4})c}{2a^8-c^8+2b^8}\right|$.
Для них $A^2+B^2=C^2$ и $A^2-B^2=a^2-b^2$

Таким же способом можно вычислить $A,B,C$ для $A^2+C^2=a^2+c^2$
При тех же обозначениях для $A,B,C,a,b,c,L,N$, уравнение $(x^4+1)L^2= (N^4+1)y^2$ сводится к уравнению эллиптической кривой
$w^2=u^3-4L^4{(N^4+1)^2}u$, на которой имеется рациональная точка бесконечного порядка $Q=(u,w)=(-4N^2{L^2},4L^3{N}(N^4-1))$
Она, к сожалению, дает решение $A=a,C=c$ и приходится вычислить (Pari ) рациональную точку $2Q$ на этой кривой.
Координаты её достаточно громоздкие и не приводятся здесь.
Однако, действуя далее так, как описано в случае $A^2-B^2=a^2-b^2$, получаем достаточно компактный результат для $A,B,C$
$A =\left|\dfrac{a(a^8+6a^4{c^4}-3c^8)}{a^8+4a^6{c^2}-6a^4{c^4}+4a^2{c^6}+c^8}\right|$

$B=\left|\dfrac{b(a^4+2{a^3}c+2ac^3+c^4)(c^4-2ac^3-2{a^3}c+a^4)}{a^8+4a^6c^2-6{a^4}c^4+4a^2{c^6}+c^8}\right|$

$C=\left|\dfrac{c(3a^8-6a^4{c^4}-c^8)}{a^8+4a^6{c^2}-6a^4{c^4}+4a^2{c^6}+c^8}\right|$

При этом $A^2+B^2=C^2$ и $A^2+C^2=a^2+c^2$

В обоих случаях выражений для $A,B,C$ бесконечно много, поскольку найденные рациональные точки бесконечного порядка,
и $(P,2P,3P...)$, $(Q,2Q,3Q,...)$ все различны.
Бесконечный порядок используемых точек следует из того, что на эллиптической кривой
$w^2=u^3-{S^2}u$
рациональных точек конечного порядка всего три (не считая $\infty$), это $(0,0), (S,0), (-S,0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные функции A,B,C
Сообщение09.10.2020, 15:05 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
scwec в сообщении #1486429 писал(а):
Достаточно просто на этой кривой находится рациональная точка бесконечного порядка
По-моему, это как раз самый сложный момент. И вообще, здесь важно, к какой именно кривой переходить. У меня почему-то получались кривые, форму Вейерштрасса которых над $\mathbb{Q}$ Maple не находил. Ну, вот не везло мне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные функции A,B,C
Сообщение09.10.2020, 16:09 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
nnosipov в сообщении #1486430 писал(а):
У меня почему-то получались кривые, форму Вейерштрасса которых над $\mathbb{Q}$ Maple не находил.


Обе кривые над $\mathbb{Q}$ получаются в Maple так
Код:
with(algcurves)
> f := x^4-6*x^2+1-y^2*(N^4-6*N^2+1)/L^2
> v := Weierstrassform(f, x, y, u, w, [N, L, 1])
>
> f := (x^4+1)*L^2-y^2*(N^4+1)
> v := Weierstrassform(f, x, y, u, w, [N, L, 1])

Что касается нахождения рациональных точек, то здесь нужны определенные навыки и опыт.
Бывает, как здесь, они видны невооруженным глазом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные функции A,B,C
Сообщение09.10.2020, 16:25 


26/08/11
2057
scwec в сообщении #1486446 писал(а):
Обе кривые над $\mathbb{Q}$ получаются в Maple так
Код:
> v := Weierstrassform(f, x, y, u, w, [N, L, 1])
А про дополнительных параметров opt в помощи ничего не написали гады.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные функции A,B,C
Сообщение09.10.2020, 18:26 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Shadow, если имеются в виду квадратные скобочки $[N,L,1]$, то в данном случае без них никак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные функции A,B,C
Сообщение09.10.2020, 19:30 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Иными словами, Maple'у нужно помогать --- указывать какую-нибудь известную рациональную точку на кривой. Иначе приведет к форме Вейерштрасса как сумеет (будут, вообще говоря, алгебраические коэффициенты).

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные функции A,B,C
Сообщение09.10.2020, 19:33 


26/08/11
2057
scwec в сообщении #1486461 писал(а):
Shadow, если имеются в виду квадратные скобочки $[N,L,1]$, то в данном случае без них никак.
Я вижу. А что означают, в помощи про этого параметра ничего не написано?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные функции A,B,C
Сообщение09.10.2020, 19:36 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Shadow
Это однородные координаты известной рациональной точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональные функции A,B,C
Сообщение09.10.2020, 19:58 


26/08/11
2057
nnosipov в сообщении #1486473 писал(а):
Shadow
Это однородные координаты известной рациональной точки.
Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group