Рациональные функции A,B,C

[scwec]

scwec в сообщении #1486050 писал(а):

В этой теме остался пока нерешенным вариант $A^2-B^2=a^2-b^2$

В случае $A^2-B^2=a^2-b^2$, полагая
$A=\frac{x^2-1}{y},B=\frac{2x}{y}, C=\frac{x^2+1}{y},a=\frac{N^2-1}{L},b=\frac{2N}{L},c=\frac{N^2+1}{L}$
получим уравнение $(x^4-6x^2+1)L^2=(N^4-6N^2+1)y^2$. Оно сводится (Maple) к уравнению эллиптической кривой в Вейерштрассовой форме
$w^2=u^3-16L^4{(N^4-6N^2+1)^2}u\qquad(1)$,
где $L=\frac{2a+2c}{b^2}, N=\frac{a+c}{b}\qquad(2)$.
Достаточно просто на этой кривой находится рациональная точка бесконечного порядка
$P=(u,w)=(4L^2{(N^2+1)^2}, 32L^3{N}(N^4-1))$
Переходим (Maple) от $u,w$ к $x,y$. заменяя $L,N$ на их выражения из $(2)$.
Вычисляем $A=|\frac{x^2-1}{y}|, B=|\frac{2x}{y}|, C=|\frac{x^2+1}{y}|$
Получаем искомые формулы
$A=\left|\dfrac{(a^8+6a^4{b^4}-3b^8)a}{2a^8-c^8+2b^8}\right|$,

$B =\left|\dfrac{(3a^8-6a^4{b^4}-b^8)b}{2a^8-c^8+2b^8}\right|$,

$C=\left|\dfrac{(c^8-12a^4{b^4})c}{2a^8-c^8+2b^8}\right|$.
Для них $A^2+B^2=C^2$ и $A^2-B^2=a^2-b^2$

Таким же способом можно вычислить $A,B,C$ для $A^2+C^2=a^2+c^2$
При тех же обозначениях для $A,B,C,a,b,c,L,N$, уравнение $(x^4+1)L^2= (N^4+1)y^2$ сводится к уравнению эллиптической кривой
$w^2=u^3-4L^4{(N^4+1)^2}u$, на которой имеется рациональная точка бесконечного порядка $Q=(u,w)=(-4N^2{L^2},4L^3{N}(N^4-1))$
Она, к сожалению, дает решение $A=a,C=c$ и приходится вычислить (Pari ) рациональную точку $2Q$ на этой кривой.
Координаты её достаточно громоздкие и не приводятся здесь.
Однако, действуя далее так, как описано в случае $A^2-B^2=a^2-b^2$, получаем достаточно компактный результат для $A,B,C$
$A =\left|\dfrac{a(a^8+6a^4{c^4}-3c^8)}{a^8+4a^6{c^2}-6a^4{c^4}+4a^2{c^6}+c^8}\right|$

$B=\left|\dfrac{b(a^4+2{a^3}c+2ac^3+c^4)(c^4-2ac^3-2{a^3}c+a^4)}{a^8+4a^6c^2-6{a^4}c^4+4a^2{c^6}+c^8}\right|$

$C=\left|\dfrac{c(3a^8-6a^4{c^4}-c^8)}{a^8+4a^6{c^2}-6a^4{c^4}+4a^2{c^6}+c^8}\right|$

При этом $A^2+B^2=C^2$ и $A^2+C^2=a^2+c^2$

В обоих случаях выражений для $A,B,C$ бесконечно много, поскольку найденные рациональные точки бесконечного порядка,
и $(P,2P,3P...)$, $(Q,2Q,3Q,...)$ все различны.
Бесконечный порядок используемых точек следует из того, что на эллиптической кривой
$w^2=u^3-{S^2}u$
рациональных точек конечного порядка всего три (не считая $\infty$), это $(0,0), (S,0), (-S,0)$.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1486429 писал(а):

Достаточно просто на этой кривой находится рациональная точка бесконечного порядка

По-моему, это как раз самый сложный момент. И вообще, здесь важно, к какой именно кривой переходить. У меня почему-то получались кривые, форму Вейерштрасса которых над $\mathbb{Q}$ Maple не находил. Ну, вот не везло мне.

[scwec]

nnosipov в сообщении #1486430 писал(а):

У меня почему-то получались кривые, форму Вейерштрасса которых над $\mathbb{Q}$ Maple не находил.

Обе кривые над $\mathbb{Q}$ получаются в Maple так

with(algcurves)
> f := x^4-6*x^2+1-y^2*(N^4-6*N^2+1)/L^2
> v := Weierstrassform(f, x, y, u, w, [N, L, 1])
> 
> f := (x^4+1)*L^2-y^2*(N^4+1)
> v := Weierstrassform(f, x, y, u, w, [N, L, 1])

Что касается нахождения рациональных точек, то здесь нужны определенные навыки и опыт.
Бывает, как здесь, они видны невооруженным глазом.

[Shadow]

scwec в сообщении #1486446 писал(а):

Обе кривые над $\mathbb{Q}$ получаются в Maple так
Код:
> v := Weierstrassform(f, x, y, u, w, [N, L, 1])

А про дополнительных параметров opt в помощи ничего не написали гады.

[scwec]

Shadow, если имеются в виду квадратные скобочки $[N,L,1]$, то в данном случае без них никак.

[nnosipov]

Иными словами, Maple'у нужно помогать --- указывать какую-нибудь известную рациональную точку на кривой. Иначе приведет к форме Вейерштрасса как сумеет (будут, вообще говоря, алгебраические коэффициенты).

[Shadow]

scwec в сообщении #1486461 писал(а):

Shadow, если имеются в виду квадратные скобочки $[N,L,1]$, то в данном случае без них никак.

Я вижу. А что означают, в помощи про этого параметра ничего не написано?

[nnosipov]

Shadow
Это однородные координаты известной рациональной точки.

[Shadow]

nnosipov в сообщении #1486473 писал(а):

Shadow
Это однородные координаты известной рациональной точки.

Спасибо.