Фунциональные производные старших порядков

[Gickle]

Здравствуйте. Занимался себе физикой и понял, что хочу нормально формализовать следующий вопрос. Пусть имеется такой функционал (всё, что нужно от $\varphi$, считать выполненным)

$$I[\varphi] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}x\mathrm{d}y \left(\partial_{x} \varphi(x,y)\right)^2 \partial_y \varphi(x,y) \equiv \int \mathrm{d}^2 \mathbf{x} \left(\partial_{x} \varphi(\mathbf{x})\right)^2 \partial_y \varphi(\mathbf{x}).$$

Мне хочется взять третью вриационную производную от $I$, то есть посчитать

$$I^{(3)}(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3) \equiv \frac{\delta^3 I[\varphi]}{\delta \varphi(\mathbf{x}_1)\delta\varphi(\mathbf{x}_2) \delta \varphi(\mathbf{x}_3)}.$$

Решил идти от печки, то есть от "определения" (на уровне строгости "для физиков"):

$$\frac{\delta I[\varphi]}{\delta\varphi(\mathbf{x}_1)} = \lim_{\varepsilon\to0} \frac{I[\varphi + \varepsilon \delta_{\mathbf{x}_1}] - I[\varphi]}{\varepsilon},$$

где $\delta_{\mathbf{x}_1}$ есть тестовая функция, в качестве которой, разумеется, я возьму дельта-функцию Дирака. Повторив это определение ещё два раза, я пришёл к выражению

$$ \begin{align} I^{(3)}&(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3) = \lim_{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\to0} \frac{1}{\varepsilon_1 \varepsilon_2 \varepsilon_3} \Big(I\left[\varphi + \varepsilon_1 \delta_{\mathbf{x}_1} + \varepsilon_2 \delta_{\mathbf{x}_2} + \varepsilon_3 \delta_{\mathbf{x}_3}\right] - I\left[\varphi + \varepsilon_1 \delta_{\mathbf{x}_1} + \varepsilon_2 \delta_{\mathbf{x}_2}\right] \\ &- I\left[\varphi + \varepsilon_1 \delta_{\mathbf{x}_1} + \varepsilon_3 \delta_{\mathbf{x}_3}\right] - I\left[\varphi + \varepsilon_2 \delta_{\mathbf{x}_2} + \varepsilon_3 \delta_{\mathbf{x}_3} \right] + I\left[\varphi + \varepsilon_1 \delta_{\mathbf{x}_1} \right] + I\left[\varphi + \varepsilon_2 \delta_{\mathbf{x}_2}\right] + I\left[\varphi + \varepsilon_3 \delta_{\mathbf{x}_3}\right] - I[\varphi] \Big). \end{align}$$

После подстановки выражения для $I$ с $\delta_{\mathbf{x}_i} = \delta^{(2)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_i)$ получим

$$ \begin{align} I^{(3)}&(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3) = 2 \int \mathrm{d}^2\mathbf{x} \Big[\partial_{x} \delta^{(2)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_1) \partial_x \delta^{(2)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_2) \partial_y \delta^{(2)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_3) \\ &+ \partial_x \delta^{(2)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_1) \partial_x \delta^{(2)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_3) \partial_y \delta^{(2)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_2) + \partial_x \delta^{(2)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_2) \partial_x \delta^{(2)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_3) \partial_y \delta^{(2)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_3) \Big] \end{align}.$$

Разумеется, нечто подобное и ожидалось. Теперь осталось только взять интегралы. Например, первый

$$ \begin{align} \int_{\mathbf{x}}& \partial_{x} \delta^{(2)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_1) \partial_x \delta^{(2)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_2) \partial_y \delta^{(2)}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_3)\\ &= \int_{\mathbf{x}} \partial_{x} \delta(x - x_1) \partial_x \delta(x - x_2) \partial_y \delta(y - y_3)\delta(x - x_3) \delta(y - y_1) \delta(y - y_2) \\ &= \partial_{x_3} \delta(x_3 - x_1) \partial_{x_3} \delta(x_3 - x_2) \partial_{y_1} \delta(y_1 - y_3) \delta(y_1 - y_2)\\ &= -\partial_{x_1} \delta(x_1 - x_3) \partial_{x_2} \delta(x_2 - x_3) \partial_{y_3} \delta(y_1 - y_3) \delta(y_1 - y_2). \end{align} $$

Вот последние две строчки правильные вообще? А тут интеграла всего два, а дельта-функции (или производных от них) аж шесть штук, так что я как-то не совсем уверен, как с этим всем правильно обращаться: в определении дельта-функции в качестве функций в интегралах фигурируют нормальные непрерывные функции, а тут те же дельта-функции (которые не функции даже) в интегралах. Вот это тот случай, когда вместо дельта-функций стоит брать гладкие тестовые функции, а уже потом их в каком-то пределе считать дираковскими дельтами? Просто хотелось бы по возможности избегать такой возни. В последней строчке я тоже не уверен. Исходил из такой логики:

$$\partial_{x_1} \delta(x_1 - x_2) = \partial_{x_1 - x_2} \delta (x_1 - x_2) = - \partial_{x_2 - x_1} \delta(x_1 - x_2) = -\partial_{x_2} \delta(x_1 - x_2).$$

Заранее благодарю за помощь.

[Slav-27]

Gickle в сообщении #1486251 писал(а):

Занимался себе физикой и понял, что хочу нормально формализовать следующий вопрос.

В математике это формализуется следующим образом. Пусть $X,Y$ топологические векторные пространства, $f:X\to Y$ функция (в вашем случае $X$ -- какое-то пространство функций на плоскости, $Y=\mathbb R$ -- вещественные числа, $f=I$ ваш функционал). Есть как минимум 2 понятия производной от функции $f$: производная Гато -- аналог частной производной по заданному направлению -- и производная Фреше -- аналог полной производной. Производная Фреше сложнее определяется, кроме того, там надо чётко понимать, в каких функциональных пространствах всё происходит, что при физических расчётах редко бывает. Но если в какой-то точке $x\in X$ существует производная Фреше, то существует и производная Гато по всем направлениям, и они (Гато и Фреше) одинаковые. Поэтому для начала имеет смысл подумать про производную Гато.

Поизводная Гато определяется просто. Зафиксируем $x\in X$, $h\in X$ и рассмотрим функцию $f(x+\varepsilon h)$ вещественного числа $\varepsilon$ (в вашем случае $Y=\mathbb R$ это просто вещественная функция одной вещественой переменной). Значение дифференциала Гато в точке $x$ на векторе $h$ есть, по определению, $df(x,h)=\dfrac\partial{\partial\varepsilon}\Big|_{\varepsilon=0}f(x+\varepsilon h)$, если этот предел существует. Если окажется, что он линейно зависит от $h$, то получившийся линейный оператор $f'(x):=df(x,\cdot):X\to Y$ называется производная Гато в точке $x$ (в случае $Y=\mathbb R$ это функционал на $X$, зависящий от точки (функции) $x\in X$).

В этих терминах то, что вы обозначаете $\dfrac{\delta I[\varphi]}{\delta \varphi(\mathbf x_1)}$, есть $dI(\varphi, \delta_{\mathbf x_1})$ -- значение дифференциала Гато в точке $\varphi$ на векторе $\delta_{\mathbf x_1}$.

Так вот, я это всё к чему. Почему бы не посчитать 3-й дифференциал Гато от $I$ на приличных функциях, а потом бы уже подставить вместо них $\delta$-функции, если они зачем-то нужны? Для приличных функций это будет некий более-менее корректно определённый и считаемый на бумажке (надо, чтобы интегралы сходились и чтобы можно было дифференцировать под знаком интеграла) функционал $d^3I(\varphi, h_1, h_2, h_3)$, зависящий от 4 функций $\varphi, h_1,h_2,h_3$.

Например, $d^3I(\varphi, h,h,h)=\displaystyle 6\int dxdy\, \left(\frac{\partial h}{\partial x} (x,y)\right)^2\frac{\partial h}{\partial y} (x,y)$. Есть ли смысл запихивать туда $\delta$-функции -- это отдельный вопрос, но это уже вам виднее, что вы хотите получить в итоге.

[Gickle]

Slav-27
Ага, да, это я вроде понимаю всё даже более-менее. И про то, что есть разные функциональные производные (Гато и Фреше) тоже слышал. И дифферецниал этот я тоже получал, но мне вот нужна именно производная. Потому что по физике тут вот чего. Этот вот функционал -- это, скажем, член взаимодействия некоторый. А старшие производные этого функционала дают "вершины". То есть в конечном итоге меня интересуют штуки следующего характера, например:

$$F[G,\varphi] = \int\limits_{\substack{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_3 \\ \mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_3}} I^{(3)}[\varphi](\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3) G_1(\mathbf{x}_1,\mathbf{y}_1) G_2(\mathbf{x}_2,\mathbf{y}_2) G_3 (\mathbf{x}_3,\mathbf{y}_3) I^{(3)}[\varphi](\mathbf{y}_1,\mathbf{y}_2,\mathbf{y}_3)$$

и

$$\Sigma_i[G,\varphi](\mathbf{x},\mathbf{y}) = \frac{\delta F[G,\varphi]}{\delta G_i(\mathbf{x},\mathbf{y})}.$$

Ну и в целом хотелось бы как-то записать явно выражение для $I^{(3)}(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3)$ (можно с оговоркой, мол, "а понимать это стоит вот в таком смысле"). Или для такого функционала это никак н есделать по-человечески?

[Slav-27]

Gickle
Давайте рассмотрим функционал на пространстве функций от ЧЕТЫРЁХ переменных $\displaystyle (I\otimes I)[\Phi]:=\int dx_1dx_2dy_1dy_2 \left(\partial_{x_1}\partial_{y_1}\Phi\right)^2\;\partial_{x_2}\partial_{y_2}\Phi$ (так что если $\Phi=\varphi\otimes\psi$, то есть $\Phi(x_1,x_2,y_1,y_2)=\varphi(x_1,x_2)\psi(y_1,y_2)$, то $(I\otimes I)[\varphi\otimes\psi]=I[\varphi]I[\psi]$).

Тогда $F[G,\varphi]=(d^3(I\otimes I))(\varphi\otimes\varphi,G_1,G_2,G_3)$, и всё нормально посчитается без всяких $\delta$-функций, по-моему.