Выразить x+y через операцию f(n,m)=(n-m)/n

[Aael]

Даны произвольные числа $x$, $y$ и $\pi$, а также операция $n\circ m:=\frac{n-m}{n}$. Какое минимальное число раз нужно применить эту операцию, чтобы получить числа (для каждого из них нужно дать свой ответ): $x+y$, $x-y$, $x\cdot y$? Получив любое число мы можем не пересчитывать его, а использовать заново.

P.S.

• олимпиада дистанционная для 7 класса, уже прошла, а разбора задач нет. Не ясно, что значит "произвольные числа" и зачем там число $\pi$, оно может быть совсем не связано с $3{.}1415..$ (просто какая-то константа, возможно не равная x и y для уменьшения числа действий).
• пробую получить выражения в явном виде, нашел только частные решения (не факт что наименьшие по числу действий), например для $x=7$ и $y=3$:
  
  $$x\circ x = 0 \qquad x\circ0=1$$ $$x+y = (y \circ ((x\circ y)\circ (y\circ x)))\circ 1 = (3 \circ ((7\circ 3)\circ (3\circ 7)))\circ 1 = 7+3=10$$ $$x\cdot y = (((x\circ y)\circ (y\circ x))\circ y)\circ (1\circ y) = (((7\circ 3)\circ (3\circ 7))\circ 3)\circ (1\circ 3) = 7\cdot3=21$$
  
  но, что-то мне подсказывает, что если данная $\pi=3{.}1415926...$, то решение связано с его свойствами, и получить выражения в общем виде не удастся. Т.е. нужно собирать какие-то последовательности чисел или геометрические построения и оценивать их сходимость. Либо я, как всегда, очевидных вещей не замечаю.

[slavav]

Можно построить замкнутые формулы, которые не зависят от конкретных $x$ и $y$. У $\pi$ тоже есть применение, хотя не такое очевидное.
Подсказка:

(Оффтоп)

в том как вы получили $0$ и $1$ если тонкая ошибка. Её и исправляет $\pi$.

[svv]

slavav
В формулах для $0$ и $1$ эту тонкую ошибку можно исправить. А в дальнейших формулах?

[slavav]

svv, для двух формул эти трюки не нужны. А для третьей понадобится $\pi$ в одном случае.

[alisa-lebovski]

Про $\pi$ важно, что оно строго положительно, в отличие от $x$, которое может быть равно нулю, а делить на ноль нельзя.

[slavav]

Странное дело, в итоге можно без $\pi$ обойтись.

[worm2]

Aael в сообщении #1486239 писал(а):

Какое минимальное число раз нужно применить эту операцию...

От семиклассников требовалось строгое доказательство минимальности?

[slavav]

Минимальное количество операций зависит от конкретных значений $x$, $y$. Полный перебор явно выходит за рамки олимпиадной задачи.

[svv]

slavav в сообщении #1486271 писал(а):

svv, для двух формул эти трюки не нужны.

Как же ж Вам удалось? У меня в любой из формул есть случаи, когда она не работает по причине деления на нуль. И никакими $\pi$ я это уже не могу исправить.

Я говорю, конечно, о формулах, не зависящих от конкретных $x$ и $y$. Т.е. «условных операторов» не допускается.

[slavav]

Я решал задачу с "условными операторами": отдельно рассматривал четыре случая ($x \neq 0 \wedge y \neq 0$ и т.д.). $\pi$ мне не пригодилось.

[svv]

Ок, тогда понятно. У меня тоже так.

У меня в формуле для умножения происходит деление на нуль при $x=0$. Ясно, что тогда можно просто возвратить $x$ в качестве нулевого результата. Вы, наверное, это имели в виду, когда писали, что можно и без $\pi$ обойтись.

[slavav]

Да.

[Aael]

Получил, наконец-то, какие-то формулы, с разрывами в нуле и единице

(Оффтоп)

\begin{array}{r@{\ }l} 0 &= \pi\circ\pi \\ 1 &= \pi\circ 0 \\ 1/x &= 1\circ (x\circ 1) \\ y/x &= 1\circ (x\circ y) \\ x\cdot y &= 1\circ [{\color{red}(}1\circ (x\circ 1){\color{red})}\circ y] \\ x - y &= 1\circ [{\color{red}(}1\circ (x\circ 1){\color{red})}\circ {\color{red}(}x\circ y{\color{red})}] \\ x + y &= 1\circ (1\circ [{\color{red}(}1\circ ((1\circ x)\circ 1){\color{red})}\circ{\color{red}(}(1\circ x)\circ y{\color{red})}]) \quad\text{ --- пока только такая} \end{array} $

slavav в сообщении #1486285 писал(а):

Минимальное количество операций зависит от конкретных значений $x$, $y$. Полный перебор явно выходит за рамки олимпиадной задачи.

Вот здесь задание и сбивает меня с толку.

1. Если подразумевается, что существует такая общая формула/алгоритм, скажем, с 7ю операциями. То можно перебрать конечное число формул с 6ю, 5ю итд.. операциями. И доказанно найти минимальное число действий в общей формуле. Но для меня (судя по комментариям, не только) вопрос существования такой формулы, например, для действительных чисел остается открытым. Возможно, подразумевались натуральные числа, но ведь дано еще и Пи и сама операция не замкнула на них.
2. Есть еще вариант, что нужно найти максимум минимальных количеств действий для всех пар чисел. Перебором такое не перебрать (поскольку вариантов бесконечно много). И даже если общая формула существует в ней может быть больше операций. В этом случае, при x=0 нам не нужно использовать Пи (к примеру 0*y=0 за 0 операций - это не влияет на общий ответ). И возникает вопрос - зачем дали Пи...

Собственно, пока что не буду дальше гадать, что там подразумевалось..

[svv]

Aael
Уточните, пожалуйста, какой вариант задания правильный.
В названии темы у Вас записано f(n,m)=(n-m)/m.
В первом сообщении $n\circ m:=\frac{n-m}{n}$.
Я, естественно, отдал предпочтение тому, что написано в сообщении. Но полученные Вами формулы определённо основываются на $n\circ m:=\frac{n-m}{m}$.
Так какой операнд/аргумент попадает в знаменатель — первый или второй?

P.S. В моём решении вычитание и умножение требуют столько же операций, как и у Вас. А вот сложение проще, оно по сложности равно вычитанию.

[Aael]

svv в сообщении #1486371 писал(а):

Уточните, пожалуйста, какой вариант задания правильный.

Который в первом сообщении - f(n,m)=(n-m)/n. Прошу прощения, за то что сбил с толку заголовком темы.

Цитата:

Но полученные Вами формулы определённо основываются на $n\circ m:=\frac{n-m}{m}$.

Вроде нет. нет..?

Цитата:

P.S. В моём решении вычитание и умножение требуют столько же операций, как и у Вас. А вот сложение проще, оно по сложности равно вычитанию.

Да, я вижу, что оно (сложение) плохое потому, что длинное и не работает с x=1. Но пока не понял как сделать лучше.