2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Не является целым числом
Сообщение12.02.2019, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2086
Минск, Беларусь
Доказать, что

$$2^{2^{\sqrt3}}\notin\mathbb{Z}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Не является целым числом
Сообщение12.02.2019, 23:37 


20/04/10
1776
$2^n\in \mathbb{Z}$ только если $n\in\mathbb{N}$. Это глупость :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Не является целым числом
Сообщение12.02.2019, 23:46 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Вообще-то, $2^{\log_23}=3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Не является целым числом
Сообщение12.02.2019, 23:50 


20/04/10
1776
Простите за глупость, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не является целым числом
Сообщение12.02.2019, 23:51 


05/09/16
11469

(Оффтоп)

Отличие в 5-м знаке, будет непросто... Т.е.план, вероятно, в том, чтобы доказать что больше $10$ но меньше $11$, т.е. что $\log _2 10 < 2^{\sqrt{3}}<\log_2 11$

 Профиль  
                  
 
 Re: Не является целым числом
Сообщение14.02.2019, 12:50 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Если считать известным $\ln 2\approx 0.693$, то ($\sqrt 3<2(1-\frac 18))$: $$\ln N=\ln 2\exp (\sqrt 3{\ln 2})<\ln 2\exp (2(1-\frac 18)\ln 2)=4\ln 2\exp (-\frac {\ln 2}4)<4\ln 2-\ln ^22+\dfrac {\ln ^32}8$$Дальше можно использовать разложения:$$\ln 10=\ln (16-6)=4\ln 2-\frac 38-\frac 9{128}-\dots , \ln 11=\ln (16-5)=4\ln 2-\frac 5{16}-\frac {25}{512}-\dots $$И, как указал wrest, доказываем неравенство: $\ln 10<\ln N<\ln 11$

 Профиль  
                  
 
 Re: Не является целым числом
Сообщение06.10.2020, 10:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2086
Минск, Беларусь
Внезапно мысль. Рассмотрим множество $\mathbb{A}$ таких действительных чисел $a$, что $2^a$ и $2^{a^{\sqrt3}}$ оба целые.

Если $2^{2^{\sqrt3}}\in\mathbb{Z}$, то $\mathbb{A}$ содержит $2$, $2^{\sqrt3+1}$ и многие другие числа.

Чутьё подсказывает, что далее можно найти несуществующую структуру в $\mathbb{A}$, придя таким образом к противоречию.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group