Всё получилось. Спасибо Padawan за подсказку. Моя ошибка была в том, что я подставил

в решении однородного уравнения, хотя не должен был делать это. Поэтому и не сразу увидел путь решения. Действительно общее решение однородного уравнения:

.
Далее частное решение ищем в виде

. Подставляем в заданное рекуррентное уравнение:

,

,

.
Частное решение:

.
Полное решение:

.
И только теперь можно подставлять в полученное решение

:

, т. е.

.
Окончательный ответ:

.
Ещё один момент. Если действовать по теории, т. е. написать характеристическое уравнение:

,

,

,
то выходить, что для каждого

уравнение имеет свой характеристический корень. Поэтому результат будет не в виде степени, а в виде факториала. Даже частное решение в таком же виде. Т. е. я хочу сказать, что между уравнениями с постоянными и уравнениями с переменными коэффициентами существует полная аналогия (это я сделал для себя такое маленькое открытие, поскольку в интернете так и не нашёл информации об уравнениях с переменными коэффициентами).
Большое спасибо всем за помощь.