Нижняя оценка верхнего предела последовательности

[VoprosT]

Покажите, что для любой последовательности $a_n$ с положительными членами $\overline{\lim\limits_{n \to \infty}}(\frac{1+a_{n+1}}{a_n})^n \geqslant e$, и эта оценка неулучшаема.

Я начал так: если $a_n$ не ограничена, то выделим в ней монотонно возрастающую подпоследовательность $a_{n_k} \to \infty$. Тогда будет $\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{a_{n_{k+1}}}{a_n_k} + \frac{1}{a_n_k})^{n_k} \geqslant \lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{a_n_k})^{n_k}$. На этом моменте по принципу Архимеда нахожу $m_k \in \mathbb{N} \colon m_k \leqslant a_{n_k} < m_k +1$ и выбираю $l_k = \max(m_k + 1, n_k)$, чтобы $\lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{l_k})^{l_k} = e$ и окончательно $\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{a_{n_{k+1}}}{a_n_k} + \frac{1}{a_n_k})^{n_k} \geqslant \lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{a_n_k})^{n_k} \geqslant \frac{\lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{l_k})^{l_k}}{1+\frac{1}{l_k +1}} = e$.

Правильно ли я начал рассуждать? Ещё не очень понимаю, что значит "неулучшаема"? Надо взять какой-то $\varepsilon > 0$ и показать, что не можем сделать $\geqslant e - \varepsilon$?

[kotenok gav]

VoprosT в сообщении #1485612 писал(а):

Надо взять какой-то $\varepsilon > 0$ и показать, что не можем сделать $\geqslant e - \varepsilon$?

Нет, надо найти такую последовательность, чтобы левая часть равнялась $e$.

[Null]

VoprosT в сообщении #1485612 писал(а):

$\lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{a_n_k})^{n_k} \geqslant \frac{\lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{l_k})^{l_k}}{1+\frac{1}{l_k +1}} $.

Почему? $l_k\ge n$
Вы оценили

VoprosT в сообщении #1485612 писал(а):

$\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{a_{n_{k+1}}}{a_n_k} + \frac{1}{a_n_k})^{n_k}$.

. А это не то что нужно.

У меня получилось доказать от противного.

[DeBill]

VoprosT в сообщении #1485612 писал(а):

Правильно ли я начал рассуждать?

Начал - может, и правильно. Но потом сделано минимум 2 грубых ошибки.
1. Вместо $a_{n_k+1}$ неожиданно возникло $a_{n_{k+1}}$...
2. "Доказано", что

VoprosT в сообщении #1485612 писал(а):

$ \lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{a_n_k})^{n_k} \geqslant e$.

Однако это неравенство иногда неверно - примеры легко соорудить. И, на самом деле, для монотонной посл-ти верно противоположное неравенство....