Сумма множеств содержит шар

[Padawan]

Пусть $D\subset \mathbb R^n$ -- шар единичного радиуса. Доказать, что если мера множеств $A, B\subset D$ удовлетворяет условию $\mu A+\mu B>\mu D$, то множество $A+B=\{a+b\mid a\in A, b\in B\}$ содержит шар с центром в начале координат. Дать для радиуса этого шара нижнюю оценку вида $r\geqslant f(\mu A, \mu B)$.

[svv]

Padawan в сообщении #1484941 писал(а):

Пусть $D\subset \mathbb R^n$ -- шар единичного радиуса.

Надо уточнить, что этот шар с центром в начале координат, иначе не получится.

[DeBill]

Условие "вектор $c$ принадлежит сумме множеств $A$ и $B$" равносильно условию "множества $A$ и $c-B$" пересекаются. Пусть $\delta$ - избыток суммарного объема наших множеств по сравнению с шаром. Сдвинем шар $D$ на вектор $c$, такой, что наружу из $D$ высунется часть шара объема меньшего $\delta$. Тогда: $A$ лежит в исходном шаре, $-B+c$ - в сдвинутом, и сумма их объемов больше объема объединения исходного и сдвинутого шаров; пересекаются эти два тела, однако. Это дает оценку снизу на радиус $r$ шара, состоящего из всех таких "$c$". Маленько поинтегрировав, можно и явно сосчитать это, но, вроде, формулы для объема шарового слоя не очень красивые...
При этом возникают вопросы, да.
1. Является ли полученная оценка точной? В одномерном случае я навроде умею это доказывать. Но уже на плоскости ... И:
2. В условии ничего не сказано про то, надо ли получить шар с центром именно что в нуле (выше была оценка именно для такого шара, и примеры легко делаются как раз для такого понимания ). Так что про обчий случай?

-- 28.09.2020, 16:47 --

Ах, невнимателен был: сказано. Но все равно, задать вопрос про "какой-нить шар" можно (тогда и замечание svv
) можнл снять.

[Padawan]

Извиняюсь, да, имел ввиду, что шар $D$ с центром в нуле.
DeBill
Да, такое док-во и было задумано
Хотя бы оценить объем этого высунутого кусочка $(D+c)\setminus D$ в зависимости от $|c|$. Интересна асимптотика гарантированного радиуса от $\mu A, \mu B$. Это по Вашему доказательству функция от суммы $\mu A+\mu B$ получается же?

[svv]

Предлагается в качестве гипотезы такая оценка (точная).
Пусть $h(V)$ — это высота шарового сегмента $D$, имеющего объём $V\in[0;\mu(D)]$.
Например, $h(0)=0,\;h(\frac 1 2 \mu(D))=1,\; h(\mu(D))=2$.

Тогда $r\geqslant h(\mu(A))+h(\mu(B))-h(\mu(D))$.