Группы, полугруппы, моноиды, … преобразований

[arseniiv]

Привет, мир! Живы ли вы?

- В симметрическую группу на подходящем множестве можно вложить любую группу. (Если мы позволим не только лишь перестановки конечного числа элементов, как это иногда делается, и аналогично ниже.)
- В моноид всех эндофункций на множестве можно вложить любой моноид (а также любую конечную полугруппу, дополнив её до моноида при необходимости).
- В симметрическую полугруппу с обращением можно вложить любую полугруппу с обращением.
- В принципе любую полугруппу можно вложить так же и в полугруппу всех частичных эндофункций, но достаточно и второго утверждения, но вместе с этим получается довольно натуральный такой квадрат.

Про булевы алгебры есть аналогичная теорема Стоуна. Про модули над полем векторные пространства ещё шире известная вещь. А что-нибудь с просто решётками; кольцами, полукольцами и т. п. есть?

(Я и сам что-то из этого помнил, но сейчас забыл.)

[Xaositect]

С кольцами все так же, как и с группами - для каждого элемента $a$ можно взять отображение $x \mapsto ax$. Для кольца с единицей это будет вложение в кольцо эндоморфизмов его аддитивной группы. В кольцо без единицы можно добавить единицу, как и в полугруппу.
Для полуколец будет то же самое, тут важна только дистрибутивность (слева) для того, чтобы отображение было автоморфизмом аддитивной структуры и существование (правой) единицы для инъективности.

Дистрибутивные решетки вкладываются в решетки подмножеств, а в общем случае там все сложно (вот что нагуглилось: http://fc.isima.fr/~nourine/Documents/s ... posets.pdf)

[arseniiv]

Ура, спасибо!

Да, про кольца мне следовало подумать немного самому, потому что про полугруппы как-то не поленился убедиться точно, что помнил правильно, а дальше забыл.