Добрый час, решаю данную задачу. Она со вступительных испытаний в ШАД.
Cодержание задачи:
Пусть

- гладкая вещественная функция, причем

,

. Докажите, что найдутся различные

,
![$\in [0,1]$ $\in [0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/7/67773ba51031d4e30bef949f15b81ebf82.png)
, для которых

Мое решение:
Так как

- гладкая функция, следовательно она имеет непрерывную производную на всём множестве определения. Тогда по Теореме Лагранжа

, где

, то

Здесь я упираюсь в тупик, так как не знаю, откуда взять еще одну такую точку

, ведь по условию задачи нужно именно, чтобы были различные значения. Пытался даже через обратную функцию и Теорему Коши, все равно прихожу к тому же, что
