Как найти вторую точку?

[toofack]

Добрый час, решаю данную задачу. Она со вступительных испытаний в ШАД.
Cодержание задачи:
Пусть $f$ - гладкая вещественная функция, причем $f(0) = 0$, $f(1) = 1$. Докажите, что найдутся различные $x_{1}$, $x_{2}$ $\in [0,1]$, для которых $\frac{1}{f'(x_{1})} + \frac{1}{f'(x_{2})} = 2$

Мое решение:
Так как $f$ - гладкая функция, следовательно она имеет непрерывную производную на всём множестве определения. Тогда по Теореме Лагранжа $\exists с: a < c < b$, где $b = 1, a = 0$, то $f'(c) = 1$ Здесь я упираюсь в тупик, так как не знаю, откуда взять еще одну такую точку $c$, ведь по условию задачи нужно именно, чтобы были различные значения. Пытался даже через обратную функцию и Теорему Коши, все равно прихожу к тому же, что $f'(c) = 1$

[Null]

Думаю вам следует отказаться от требования $\frac{1}{f'(x_1)}=1$

[Dan B-Yallay]

А в задаче разве требуется обязательно найти 2 различных точки с единичной производной?
Если у Вас есть точка $c: \ f'(c) = 1$, то в силу непрерывности производной, вокруг $c$ есть точки, в которых производные достаточно близкие к 1.
А в силу условия

toofack в сообщении #1484491 писал(а):

$f(0) = 0$, $f(1) = 1$.

- если $f'(x) \not\equiv 1$, то её значения обязаны быть как меньше, так и больше единицы.

[TOTAL]

Вот на такую функцию посмотрите $x(f)-x(1-f) +1 - 2f$
(Подсказка: на половинке отрезка)

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #1484494 писал(а):

её значения обязаны быть как меньше, так и больше единицы.

Более того, они заполняют как минимум интервал, захватывающий единицу. Этого уже более чем достаточно.

[Null]

Дифференцируемости достаточно.

[ewert]

Null в сообщении #1484558 писал(а):

Дифференцируемости достаточно.

Конечно, но это уже изыск. Про который и знают-то не все. А вот про непрерывные функции (в данном случае производные) -- все.

[FEBUS]

Если $\;\;f(x)=x,\;\;$ то утверждение верно.
Если существует $\;\quad x= a : \; f(a) > a,\;$ тогда на $\;[a; 1] \;$ найдется $\;\; c : f'(c) = \frac{1-f(a)}{1-a}<1\;.

Это поможет?

[thething]

Можно так: сперва находим точку $\xi$ такую, что $f(\xi)=\dfrac{1}{2}$, а потом применяем теорему Лагранжа к отрезкам $[0,\xi]$ и $[\xi,1]$.

[TOTAL]

$f'(x_1) =\frac{1}{1+\varepsilon}, \; f'(x_2) =\frac{1}{1-\varepsilon}$