У произведения матриц одинаковый хар. многочлен

[artempalkin]

svv в сообщении #1484381 писал(а):

А определители правых частей легко упрощаются.

Ну с правыми частями все в порядке, т.к. это квазидиагональные матрицы, а у них определитель равен произведению определителей блоков на диагонали (это доказывается либо так, как вы, либо более общо по теореме Лапласа. Это я не в смысле вас учить, а просто для себя формулирую :) ).

Кстати, если разобраться все-таки дальше с этим безотносительно доказательства исходного утверждения...

$\begin{bmatrix}E&0\\-A&E\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\lambda E&B\\\lambda A&\lambda E\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda E&B\\0&\lambda E-AB\end{bmatrix}$

Первая матрица слева квазидиагональна (и даже треугольна), ее определитель равен $1$. Про вторую матрицу вы выразились, что

svv в сообщении #1484381 писал(а):

Этот определитель равен чему-то сложному, о чём не хочется даже задумываться.

Назовем эту матрицу $C$. Матрица справа квазидиагональна, вы выписывали ее определитель, но если еще раз это сделать $|\lambda E|\cdot |\lambda E-AB|=\lambda^n|\lambda E-AB|=|\lambda^2-\lambda AB|$. Это и будет определитель матрицы $C$, и не такой уж он и отвратительный, а именно такой, каким я его представил :) Вероятно все-таки в этой матрице определитель можно брать, перемножая блоки.

[svv]

Согласен, Вы правы. В этой матрице — можно.