инвариантность ортогональных дополнений

[Paul Ivanov]

Добрый день.
Вопрос следующий: пусть имеется евклидово или эрмитово конечномерное векторное пространство. Каким может быть линейный оператор на таком пространстве, если для любого инвариантного подпространства ортогональное дополнение также инвариантно?
Пробовал сам найти информацию, но по ключевым словам вылезают либо ортогональные операторы, либо какая ещё начальная теория.
Сам смог доказать только то, что изометрии и эрмитовы операторы сюда подходят. В википедии нашёл, что нормальные операторы также удовлетворяют этому свойству, но доказать не получилось. В общем крайне заинтересовал вопрос о том, как задаётся целиком подмножество подходящих операторов.
Не настаиваю, но предпочёл бы, чтобы меня просто направили на нужный источник.
Имею представление о расщеплении на нерасщепляемые циклические инвариантные подпространства, из которой можно сделать вывод, что таким свойством обладают только те операторы, которые позволяют расщепить пространство на ортогональные нерасщепляемые инвариантные подпространства. Возможно обратное тоже верно и тогда этим можно воспользоваться для построения любого такого оператора, но по-моему это тоже копание не в ту сторону.
Имею представление о каноническом виде нормальных операторов в евклидовом и эрмитовом пространствах, что также мне ничего полезного не даёт.
Спасибо

[пианист]

Такое соображение: ортогональный к собственному вектор после действия оператора остаётся ортогональным.

[iifat]

Ну, может быть, стоит посмотреть на простейший случай: плоскость, за инвариантное подпространство берём прямую (да, да, проходящую через центр). Ортогональное дополнение — перпендикулярная прямая. Какими могут быть линейные операторы?

[Paul Ivanov]

iifat, ну ясно, что в этом случае искомое множество операторов - это нормальные операторы.
пианист, да, для искомых операторов получается работает.
Так, ну хорошо. Можно рассуждать так: пусть имеется эрмитово пространство и пусть оператор уже искомый, у него точно найдётся собственный вектор, тогда ортогональное дополнение инвариантно. Далее ограничение оператора на ортогональное дополнение также имеет собственный вектор, повторяем рассуждения и по индукции получаем, что искомый оператор должен быть нормальным. В случае евклидова пространства можно вначале выделить все ортогональные собственные вектора так, что останется инвариантное ортогональное дополнение без собственных векторов, которое поэтому должно разбиваться на инвариантные ортогональные плоскости для каждой из которых оператор осуществляет гомотетию и поворот. Таким образом имеем в обоих случаях канонический вид соответствующих нормальных операторов. То есть данные операторы обязаны быть нормальными.
Чтобы доказать обратное на эрмитовом пространстве, достаточно показать, что если пространство разбивается на ортогональные инвариантные прямые, то любое его инвариантное подпространство есть прямая сумма некоторых подподпространств всех собственных подпространств, а тогда ортогональное дополнение к нему есть прямая сумма ортогональных дополнений к каждому из этих подподпространств внутри соответствующих собственных подпространств.
То есть получаем, что нормальные операторы это те и только те, для которых верно, что для любого инвариантного подпространства ортогональное дополнение инвариантно. А если рассмотреть вопрос шире абстрагировавшись от нормировки включив всевозможные скалярные произведения, то получается, что если относительно оператора эрмитово (евклидово) пространство расщепляется на инвариантные прямые (плоскости и прямые), то соответствующим образом вводя скалярное произведение можно превратить любой такой и только такой оператор в нормальный.
Короче я изначально не в том направлении копал.
Для евклидового пространства докажу как-нибудь на досуге.