Как найти машинный эпсилон?

[IvanX]

Машинный эпсилон --- это наименьшее число eps, такое что eps+1=1.
Почему для тестирования выбирают именно число 1?
Почему при нахождении машинного эпсилона в цикле тестируемое число каждый раз делят на 2?

float eps = 1;
while (eps+1 != 1) eps = eps/2;

Вдруг эпсилон находится где-то между между 1/2^n и 1/2^(n+1)? Есть ла за этим какое-то обоснование? Быть может, погрешность машинного округления зависит только от порядка числа и от положения первого ненулевого бита в его мантиссе? Или просто эпсилон находится приближенно среди чисел вида 1/2^n?

[vpb]

Рекомендуется читать книгу
M.L.Overton, Numerical computing with IEEE floating point arithmetics.
Там есть все ответы. (А сама книга есть в либгене) Книга исключительно понятная.

[IvanX]

vpb в сообщении #1484164 писал(а):

Рекомендуется читать книгу
M.L.Overton, Numerical computing with IEEE floating point arithmetics.
Там есть все ответы. (А сама книга есть в либгене) Книга исключительно понятная.

Спасибо. Постараюсь со временем прочитать. К сожалению, английским плохо владею. Может, все-таки кто-нибудь в двух словах ответит.

[GAA]

IvanX в сообщении #1484155 писал(а):

Машинный эпсилон --- это наименьшее число eps, такое что eps+1=1.

Это заведомо неправильное определение. Нужно хотя бы заменить «наименьшее» на «наибольшее».
[Слово «наименьшее» будет фигурировать в таком определении машинного $\varepsilon$:
Машинное $\varepsilon$ — это такое минимальное положительное число, которое при прибавлении к 1 даёт следующее за 1 число, т.е. наименьшее большее 1.]

[Дальше для случая нормализованных чисел.]

Если машинное $\varepsilon$ определяется как максимальная предельная относительная погрешность представления числа, то оно равно $2^{-p}/2$, где $p$ — число отводимых для дробной части числа бит (т.е. без целой единицы). Для binary32 (Single) $p$ равно 23 ($\varepsilon$ приближенно равно $5.960464478\cdot 10^{-8}$), для binary64 (Double) $p$ равно 52 ($\varepsilon$ приближенно равно $1.110223025 \cdot 10^{-16}$). В этом определении предполагается, что при округлении погрешность не более половины младшего бита.

Если машинное $\varepsilon$ определяется как разность между 1 и ближайшему к нему числу большему 1, то оно равно $2^{-p}$. Такое определение eps используется в Scilab [см «epsilon (floating-point relative accuracy)»], Octave, Matlab (можно проверить, вызвав соответствующую функцию eps).

Вроде так.

[Dmitriy40]

Если в двух словах ...

IvanX в сообщении #1484155 писал(а):

Почему для тестирования выбирают именно число 1?

Потому что числа хранятся в нормализованном виде, с целой частью равной $1$.

IvanX в сообщении #1484155 писал(а):

Почему при нахождении машинного эпсилона в цикле тестируемое число каждый раз делят на 2?

Потому что числа хранятся в двоичном коде (системе счисления с основанием 2).

IvanX в сообщении #1484155 писал(а):

Вдруг эпсилон находится где-то между между 1/2^n и 1/2^(n+1)? Есть ла за этим какое-то обоснование?

Это зависит от определения что именно считать машинным $\varepsilon$, как выше правильно объяснили.
Ну и произвольным он быть не может, в зависимости от определения число всегда будет одно точно заданное.

Добавлю что для формата long double (80 битов FPU) $p$ (число битов дробной части мантиссы) равно 63.

Подробнее можно посмотреть хотя бы в вики: Machine_epsilon (на русском убого, тут же понятно и без глубокого знания английского, да и онлайн перевод пока не отменили). Кстати примечание под таблицей про Scilab тут ошибочное.