Алгебраические структуры с n-арными операциями

[Борис Лейкин]

У алгебраических структур с бинарными операциями (полугрупп, групп, колец, полей и т.д.)
много приложений как в самой математике так и в других науках.
В Мат.Энцикл. есть статья про груды и полугруды, оказывается это такие структуры
с тернарными операциями, и про n-группы. Про операции с арностью >3 я никакой информации
найти не смог вообще.
Существует хоть какая-нибудь польза от алгебраических структур
с n-арными n>2 операциями, не знаете?

[bot]

Тот, кто такими структурами занимается, обычно вообще не интересуется категориями типа пользы.
С другой стороны, встречаются ведь объекты, которые описываются именно в терминах n-местных операций. Плюс к этому, бывает, что в рамках обобщения удаётся найти общее у совершенно разных, казалось бы структур и, таким образом, устранить параллелизм доказательств с одновременным упрощением.
В качестве примера можно взять знаменитую локальную теорему А.И.Мальцева.

[Руст]

От них мало пользы. Во первых функции от многих аргументов выражаются через функции от двух аргументов, что приводит к тому, что общие n -арные выражаются через общие одноарные и двуарные операции. Все рассмотренные в математике тернарные операции и на самом деле являются производными от двуарных операций.

[Борис Лейкин]

Так я и думал.

[lofar]

Пусть $X$ --- множество. Рассмотрим совокупность $G$ всех функций $f\colon X^2\to X$. Определим тернарную опреацию $(\cdot,\cdot,\cdot)$ на $G$. Для $f,g,h\in G$ полагаем

$$ (f,g,h)(x,y) = f(g(x,y),h(x,y)). $$

По-моему, эта операция естественным образом не выражается через бинарные. Я видел работу по криптографии где такие операции играли определенную роль.

Отмечу, что приведенный пример универсален, в том смысле, что любая алгебраическая структура с тернарной операцией вкладывается в $G$ (при соответствующем выборе $X$).

[er]

Есть тернарная операция Мальцева, для нее аксиома: $f(a,a,b)=f(b,a,a)=b$. В группах есть естественная операция Мальцева: $f(x,y,z)=xy^{-1}z$. На ретракте группы тоже есть: $f(x,y,z)=r(xy^{-1}z)$, где $r$ - ретракция. Компактные ретракты топологических групп - это в точности компакты с непрерывной операцией Мальцева.

[bot]

er писал(а):

Есть тернарная операция Мальцева...

Обычно он обозначается буквой m. Исторически это первый пример тождества, с которого началось характеризация различных свойств классов алгебраических систем, имеющих свободную систему подходящего ранга, например многобразий (задающихся тождествами) или квазимногообразий (задающихся квазитождествами, то есть формулами хорновского типа).
В частности, указанный терм Мальцева характеризует перестановочность конгруенций на всех системах такого класса (группы, кольца, квазигруппы, ...), в частности в таком классе решетка когруенций любой системы модулярна.
К настоящему времени список подобных свойств, характеризуемых условиями Мальцева, весьма велик. Среди них, к примеру, есть дистрибутивность и модулярность решётки конгруенций - они записываются системами тождеств (число таких тождеств зависит от класса и свести к фиксированному числу нельзя), соответственно от 3-х и 4-х переменных.
К сожалению, я слаб в поисковиках и не могу дать ссылок - мне даже на запрос <Мальцев А.И.> Яндекс подсовывает Мальцева А.Н.

[juna]

Видимо Руст имеет ввиду 13-й проблему Гильберта - представление функций многих переменных в виде суперпозиции функций меньшего числа переменных. В 1957 году Колмогоровым А.Н. и Арнольдом В.И. был получен целый ряд важных теоретических результатов, разрешавших поставленную проблему. Один из результатов - теорема о представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одного переменного и сложения.

[er]

bot писал(а):

В частности, указанный терм Мальцева характеризует перестановочность конгруенций на всех системах такого класса (группы, кольца, квазигруппы, ...), в частности в таком классе решетка когруенций любой системы модулярна.

К сожелению, не очень понимаю терминалогию..

Рассмотрим топологическую алгебру (это, должно быть, (квази)многобразие, элементы которого топологические пространства с непрерывными операциями). Для простоты, расссматриваем случай когда элементы компактные хаусдорфовы пространства.

Вопрос. Когда морфизмы "на" в этой алгебре отрыты (открытые множества переводят в открытые)?

Если из операций на алгебре выводится операция Мальцева, то открыты. Мне говорили, что, в некотором смысле, верно и обратное. То есть, если в алгебре все морфизмы "на" открыты, то из операций выводится какая-нибуть операция Мальцева. И это вытекает из результатов Мальцева. Только я не понял в каком именно смысле.. То что Вы сказали, к этой проблеме имеет отношение?

Такие алгебры любопытны тем, что пространства будут компактами Дугунжи, в частности, диадическими (то есть, непрерывными образами обобщенного канторового дискантинуума $\{0,1\}^\tau$).

Я так толком литературу и не изучил по этой теме

[bot]

"Моя твоя, твоя моя - не понимай"
Уточняю про квазимногообразия - это класс алгебраических систем, удовлетворяющих формулам (кванторы всеобщности опускаю): P \and Q \and ... --> R, где P, Q, ... R это равенства термов. Многообразие - частный случай квазимногообразия - в посылке импликации выше берём тождество х=х.
Терм Мальцева обеспечивается наличием свободной системы (любое отображение образующих в систему из класса продолжается до гомоморфизма) в таких классах. Коль скоро речь о терме, то заведомо должно предполагаться наличие алгебраической структуры на носителях, причём фиксированной.
Каким боком сюда попадают топологические алгебры? Хм, не догоняю. Какой там аналог может быть свободной системы?

[er]

Да, проблемы с пониманием терминалогии.. Как понял, что написали.

Алгебраическая система: множество X с набором операций (f_1,...,f_k),
где операция это отображение f_i: X^{n_i}\to X^{m_i}.

(Топологическая алгебра - алгебраическая система с непрерывными операциями).

Терм: формула, с помощью которой из известных операций подстановки строятся
новые операции. Пример - p(x,p(y,z)) - из бинарной сделали тренарную.
Равенство термов определяет тождество связывающие операции.
Пример - p(x,p(y,z))=p(p(x,y),z) ассоциацивность.

Многообразие: класс алгебраических систем, в которых "одинаковый" набор операций
(k,n_1,m_1,..,n_k,m_k совпадают) и для этих операций выполняются некий набор тождеств,
связывающий эти операции.
(P_1=Q_1,P_2=Q_2,...,P_l=Q_l), где P_j,Q_j - термы.

Многообразие с гоморфизмами образует категорию.

Насчет открытых гомоморфизмов.

Если X,Y компактные топологические алгебры с операцией Мальцева и f:X\to Y
непрерывный гомоморфизм, f(X)=Y, то отображение f открыто (открытое множество
переводит в открытое).

Для топологических групп это классическое утверждение.

Цитата:

Терм Мальцева обеспечивается наличием свободной системы (любое отображение образующих в систему из класса продолжается до гомоморфизма) в таких классах.

То есть, есть функтор F (свободного объекта) из категории множеств в
категорию многообразия? (для множества S определяется алгебраическая система
F(S), так что соответствующии диаграммы комутативны).

Цитата:

Каким боком сюда попадают топологические алгебры? Хм, не догоняю. Какой там аналог может быть свободной системы?

Для групп это классический объект, для операции Мальцева тоже рассматривалось.
Функтор "свободной топологической алгебры" из категории топологических пространств
в категорию "топологического многобразия" (= многообразия, где операции непрерывны)

Правильно я понимаю?

[er]

Цитата:

Терм Мальцева обеспечивается наличием свободной системы (любое отображение образующих в систему из класса продолжается до гомоморфизма) в таких классах.

это я что то не очень понял, все таки..

Точно не понял. Рассмотртрим многообразие полугрупп (бинарная операция с ассоциативностью). Там что, нет "свободной системы"? Как я понял этот термин, есть, что, кажется, очевидно. А операции Мальцева в полугрупах нет.

[bot]

Ага, теперь проясняется. Сбил термин многообразие. У нас он просто означает класс алгебраических систем, определенных тождествами, а квазимногообразие определяется квазитождествами.
Примеры: класс всех групп (или полугрупп) - это многообразие, а класс групп бекручения (или полугрупп с сокращениями, то есть удовлетворяющих квазитождествам xy=xz --> y=z, yx=zx --> y=z). Свободные системы в перечисленных классах есть, но в классе полугрупп терма Мальцева нет.
Конечно я выразился неаккуратно, когда сказанул, что терм Мальцева обеспечивается наличием свободной системы. Если понять буквально, то вообще бред полнейший. Имел-то я в виду, как доказываются подобного сорта теоремы. Ну вот, к примеру, про этот терм Мальцева:
Требуется доказать, что класс K (многообразие или квазимногообразие) конгруецперестановочен (т.е. конгруенции перестановочны на всех системах из K) iff существует терм Мальцева.
Для доказательства берём свободную систему от трёх свободных порождающих x, y, z и в ней две конгруенции, склеивающие две пары переменных:
$x \theta _1y$ и $y \theta _2z$
Тогда имеем $x \theta _1y\theta _2z$, а следовательно в силу перестановочности конгруенций и $x \theta _2m(x,y,z)\theta _1z$ для некоторого элемента $m(x,y,z)$ свободной системы, отсюда и тождества. Обратно, если тождества есть, то перестановочность конгруенций на любой системе класса вытекает из сохранения тождеств при гомоморфизмах.
Подобным способом доказываются все, как говорят англоязычные, Mal'cev's type theorems.
Для случая топологических алгебр стало быть надо просто понять, какие конгруенции соответствуют гомоморфизмам и почему они перестановочны.
А из Вашего поста я первоначально понял, что сама алгебра является многообразием, потому и выделил слово класс жирным шрифтом.

[er]

Стало понятнее, спасибо.

В обратную сторону допишу, тем более, намного проще для понимания. Приведенное доказательство похоже на жульничество, которое логики используют.
Докажем, из терма Мальцева вытекает перестановочность конгруенций.
Пусть $\theta_1,\theta_2$ конгруенции, надо показать, что если $x\theta_1 y \theta_2 z$ ($x\theta_1 y$ и $y \theta_2 z$), то существует $u$, для которого $x\theta_2 u \theta_1 z$. В качестве $u$ возмем $m(x,y,z)$. Утверждение $x\theta_2 u \theta_1 z$ это запись того, что верно $x\theta_2 u$ и $u \theta_1 z$, что и будем проверять.

Докажем $x\theta_2 u$. $x\theta_2 x$ -($x=m(x,y,y)$)-> $x\theta_2 m(x,y,y)$ -($y \theta_2 z$)-> $x\theta_2 m(x,y,z)$ --> $x\theta_2 u$.
Анологично докажем $u \theta_1 z$. $z\theta_1 z$ -($z=m(y,y,z)$)-> $m(y,y,z)\theta_1 z$ -($x \theta_1 y$)-> $m(x,y,z)\theta_1 z$ --> $u\theta_1 z$.

Насколько понимаю, в чем заключается "философский" смысл перестановочности конгруенций. По конгруенциям $\theta_1,\theta_2$ строим бинарное отношение $\theta_1\circ \theta_2$: $x \theta_1\circ \theta_2 z$ iff существует $y$, для которого $x\theta_1 y \theta_2 z$.
Перестановочность $\theta_1$ и $\theta_2$ означает $\theta_1\circ \theta_2=\theta_2\circ \theta_1$ и эквивалентно тому что отношение $\theta_1\circ \theta_2$ является отношением эквивалентности.

Насчет открытых гомоморфизмов. Они вытекают из утверждения, идущего к Мальцеву.

Для бинарного отношения $\theta$ на множестве $X$ и $U\subset X$ обозначим $\theta U=\{y\in X: \exists x\in U (x\theta y)\}$.

Классическая теорема

1. Теорема. Пусть $X$ топологическое пространство с непрерывной операцией Мальцева $m$. Тогда для любого открытого множества $U\subset X$ и конгруенции $\theta$ множество $\theta U$ открыто.

Ее можно усилить

2. Теорема. Пусть $X$ топологическое пространство, $m$ операция Мальцова, $\theta$ отношение эквивалентности на $X$. Предположим, выполняются условия:
(1) отображение $m(x,y,\cdot):X\to X: z\mapsto m(x,y,z)$ непрерывно в точке $y$ для любых $x,y\in X$;
(2) если $x \theta y$, то $z \theta m(x,y,z)$ для любого $z\in X$.
Тогда для любого открытого множества $U\subset X$ множество $\theta U$ открыто.
Доказательство. Возмем произвольную точку $y\in \theta U$. Существует $x\in U$, для которого $x\theta y$. Так как $m(x,y,y)=x\in U$ и (1), то существует открестность $V$ точки $y$, для которой

$$\{m(x,y,z):z\in V\}=m(x,y,\cdot)(V)\subset U$$

.
Мы докажем открытость $\theta U$, когда покажем, что $V\subset \theta U$. Пусть $z\in V$.
Тогда из (2) вытекает $z \theta m(x,y,z)$. Так как $m(x,y,z)\in U$, то $z\in \theta U$.

Условие (1) - ослабление непрерывности $m$, а (2) ослабления того, что $\theta$ конгруенция.

Любопытно, пожалуй из теоремы 2 вытекает, что компакты Дугунджа это в точности компакты с операцией Мальцева, непрерывной в точках вида $(x,y,y)$ и $(x,x,y)$..

Из теоремы 1 (2) сразу вытекает, что факторный гомоморфизм пространств с (раздельно) непрерывной операцией Мальцева открыт.

Интересно как то обратить теорему 1. Что то положительное доказать, больше шансов -

3. Гипотеза. Есть многообразие, состоящие из топологических пространств с раздельно непрерывными операциями. Для любой (тополого) алгебраической системы $X$ из многообразия, открытого $U\subset X$ и конгруенции $\theta$ на $X$ множество $\theta U$ открыто. Тогда в многообразии есть терм Мальцева.

Если получится, то можно накладывать более сильные ограничения, типа отделимости пространств, совместной непрерывности операций. Рассматривать не все конгруенции, а те, которые порождаются факторными гомоморфизмами в (тополого) алгебраические системы из многообразия.

Для контр примера ограничений можно побольше наложить, тоже было бы очень интересно.

4. Гипотеза. Существует многообразие без терма Мальцева, состоящие из компатных хаусдорфовых пространств с совместно непрерывными операциями, в котором все сюрьективные непрерывные гоморфизмы открыты.

Может быть, даже интересно посмотреть случай, когда пространства - гладкии многообразия, операции и гомоморфизмы тоже гладкии.

[bot]

er писал(а):

Стало понятнее, спасибо.
В обратную сторону допишу, тем более, намного проще для понимания. Приведенное доказательство похоже на жульничество, которое логики используют...

Не совсем понял, где Вы усматриваете жульничество - в моём скетче существования терма Мальцева или в Вашем очень подробном разборе, почему перестановочны конгруенции на индивидуальной системе, обладающей термом Мальцева? Последнее я в своём скетче даже и не помянул, привычно считая это очевидным. Аналогично, если я начну подробно расписывать очевидные для Вас топологические приколы, то Вас это тоже позабавит.
Весь фокус в теоремах типа Мальцева состоит в том, что существования терма(ов), характеризующих некоторое свойство доказывают для определённых классов, описываемых определёнными формулами, и основная трудность состоит в их нахождении. Обратная проверка, что эти термы с тождествами, действительно обеспечивают данное свойство на любой системе, обычно тривиальна. Кроме того, в общей ситуации, нахождение подобного терма для индивидуальных систем, без каких-либо дополнительных предположений об этой системе, невозможно. Например, терма Мальцева заведомо не может быть для систем унарной сигнатуры, хотя среди них и есть системы с перестановочными конгруенциями. Или возьмём произвольную двухэлементную систему, на ней всего две конгруенции - равенство и универсальная, они перестановочны, а терм Мальцева найдётся не для всякой, например, его заведомо нет для неодноэлементной системы, в которой у каждой операции множество значений одноэлементно.
Таким образом, чтобы получить терм Мальцева для индивидуальной системы, нужны дополнительные свойства этой системы. По Мальцеву достаточным будет, если эта система окажется гомоморфным образом свободной в некотором классе системы от трёх свободных порождающих, которая сама обладает свойством перестановочности конгруенций.
Будет время посмотрю (топология не мой конёк), но уже ясно, что у Вас речь совсем о другом: Вас интересуют свойства индивидуальных систем, обладающих термом Мальцева с дополнительными топологическим свойствами.