2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функционал на пр-ве многочленов (типа)
Сообщение06.09.2020, 17:08 


14/02/20
832
Это тоже задача из Putnam (1985), над ней я думаю уже месяц, наверное, ничего putnого придумать не смог.

Пусть для полинома с действительными коэффициентами $p(x)=a_0+a_1x+...+a_mx^m$ $$\Gamma (p(x))=a_0^2+a_1^2+...+a_m^2.$$

Пусть далее $F(x)=3x^2+7x+2$. Найдите такой полином $g(x)$ с действительными коэффициентами, что
1) $g(0)=1$
2) $\Gamma(F(x)^n)=\Gamma(g(x)^n)$
для любого целого $n\geqslant 1$.

Здесь идей маловато. Я пытался представить исходный "функционал" в какой-то явной форме, но не сильно преуспел (например, $\Gamma(p(x))=p(0)^2+p'(0)^2+\left(\frac {p''(0)}2\right)^2+...+\left(\frac {p^{(m)}(0)}{m!}\right)^2$, но это никак не приближает к выражению $\Gamma(p(x)^n)$.

Исходный многочлен красиво раскладывается на множители, а это значит, что мы знаем корни всех многочленов $F(x)^n$ и они удобные, но коэффициенты многочлена все-таки достаточно сложно выражаются через его корни, чтобы прямо так, зная корни, найти сумму квадратов коэффициентов... В общем, ничего придумать пока не смог.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функционал на пр-ве многочленов (типа)
Сообщение06.09.2020, 17:21 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Здесь такая мысль: сумма квадратов коэффициентов многочлена $p(x)$ --- это свободный член многочлена Лорана $P(x)=p(x)p(1/x)$, а его можно выразить через интеграл по единичной окружности от $P(z)/z$. Не знаю, насколько это продуктивно, но других идей нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функционал на пр-ве многочленов (типа)
Сообщение06.09.2020, 18:43 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Кстати, ответ моментально подбирается: $g(x)=6x^2+5x+1$. Осталось только доказать. Но это уж Вы сами.

Upd. А доказывать-то и нечего. Черт побери ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Функционал на пр-ве многочленов (типа)
Сообщение06.09.2020, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Есть такое соображение. Давайте модифицируем определение:
$$
\Gamma(p)=|a_0|^2+\ldots+|a_m|^2.
$$

Тогда верно следующее:

$$
\Gamma(f^m)=\Gamma(g^m)\quad \forall m\in \mathbb N
$$

тогда и только тогда, когда наборы $[|f(1)|,|f(\omega)|,\ldots,|f(\omega^m)|]$ и $[|g(1)|,|g(\omega)|,\ldots,|g(\omega^m)|]$ совпадают с точностью до перестановки элементов. Здесь $\omega$ -- какой-то (фиксированный) примитивный корень степени $m+1$ из единицы.

Это следует из равенства Парсеваля для дискретного преобразования Фурье.

Поскольку $(m+1)g(0)=g(1)+\ldots+g(\omega^m)$, достаточно подобрать фазы так, чтобы $g(0)$ суммировалось куда нужно и коэффициенты $g$ были вещественными.

Авторское решение я не смотрел, но оно должно быть доступно в онлайне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функционал на пр-ве многочленов (типа)
Сообщение07.09.2020, 03:59 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Действительно, есть вот здесь: https://prase.cz/kalva/putnam.html. Насколько авторское, не совсем ясно, но какое-то есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функционал на пр-ве многочленов (типа)
Сообщение16.09.2020, 09:00 


14/02/20
832
nnosipov в сообщении #1482260 писал(а):
А доказывать-то и нечего. Черт побери ...

Ну как нечего, все равно пришлось воспользоваться предложенным вами многочленом Лорана, чтобы доказать :) Я, признаться, впервые встречаю такой многочлен и описание его свойств.
Интересно, что для любых одинаковых степеней этих двух многочленов предложенные вами многочлены ($P(x)=F(x)\cdot F(\frac 1 x)$) равны. Не знаю, есть ли в этом какое-то фундаментальное свойство...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group