Изменение порядка суммирования в кратных суммах

[VoprosT]

Читаю "Concrete Mathematics",там на моменте про изменение порядка суммирования в кратных суммах отдельно оговаривается случай, когда область изменения внутреннего индекса зависит от внешнего индекса.
Например, есть сумма: $\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{k=j}^{n}a_{j,k}$
Авторы используют нотацию(скобку) Айверсона и показывают: $[1 \leqslant j \leqslant n][j \leqslant k \leqslant n] = [1 \leqslant j \leqslant k \leqslant n] = [1 \leqslant k \leqslant n][1 \leqslant j \leqslant k]$.
Таким образом $\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{k=j}^{n}a_{j,k} = \sum\limits_{1 \leqslant j \leqslant k \leqslant n}a_{j,k}=\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{k}a_{j,k}$.
Я не очень прочувствовал, почему это равенство верно, решил посмотреть на примерах с небольшими $k$ и $j$ и заметил, что если выписывать суммы построчно (одна строка - одно значение индекса внешней суммы), то получаются транспонированные диагональные "матрицы", почему?
Я проверил с помощью таблицы истинности, что равенства, касающиеся скобок Айверсона, действительно верны, но всё равно осадочек какой-то остался. Может кто-то из форумчан сможет по-другому объяснить мне это "правило" действия с кратными суммами?

[Утундрий]

Заштрихуем треугольник вертикальными отрезками. А теперь - горизонтальными. О, чудо, площадь не изменилась!

[novichok2018]

С именем Дирихле связывают перестановку пределов только в интеграле по треугольнику, или в суммах тоже?

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1483071 писал(а):

С именем Дирихле связывают перестановку пределов ... в интеграле

Дирихле? Что-то я об этом впервые слышу. По-моему, соответствующие теоремы безымянны. Но, правда, я давненько не заглядывал в учебники по матану.

[novichok2018]

Фихтенгольц, третий том, с. 158: доказанная формула обычно связывается с именем Дирихле...

[Утундрий]

Соотношения подобного рода, достойные отдельного наименования, обычно ассоциируются с фамилией Фубини.

[novichok2018]

Фубини - это общая формула сведения двойного к повторным, по любым областям. В треугольнике с упомянутым здесь штрихованием вертикальным или горизонтальным - Дирихле.

[VoprosT]

Утундрий в сообщении #1482923 писал(а):

Заштрихуем треугольник вертикальными отрезками. А теперь - горизонтальными. О, чудо, площадь не изменилась!

Ваше сообщение не добавило ясности, потому что штрихи как-то не сопоставляются с двойной суммой. Но я придумал для себя другое объяснение(впрочем, в книге оно приводится, как пример, но не как объяснение) : рассмотреть следующую матрицу

$$\begin{pmatrix} a_1a_1& ... & a_1a_k\\ ...& ...&... \\ a_ja_1& ... & a_ja_k \end{pmatrix}$$

[svv]

VoprosT в сообщении #1483104 писал(а):

Ваше сообщение не добавило ясности

Не может быть, чтобы не добавило!

А так?

В варианте слева каждому $j$ (внешнему индексу) соответствует строка — жёлтая полоска.
Внутренние суммы — это суммы по жёлтым полоскам. А внешняя сумма собирает их вместе.

В варианте справа каждому $k$ (внешнему индексу) соответствует столбец — розовая полоска.
Внутренние суммы — это суммы по розовым полоскам. А внешняя сумма собирает их вместе.

[novichok2018]

Красивое и наглядное объяснение для сумм, ранее подобный рисунок встречал только для интегралов. Спасибо.

[VoprosT]

svv в сообщении #1483145 писал(а):

VoprosT в сообщении #1483104 писал(а):

Ваше сообщение не добавило ясности

Не может быть, чтобы не добавило!

А так?

В варианте слева каждому $j$ (внешнему индексу) соответствует строка — жёлтая полоска.
Внутренние суммы — это суммы по жёлтым полоскам. А внешняя сумма собирает их вместе.

В варианте справа каждому $k$ (внешнему индексу) соответствует столбец — розовая полоска.
Внутренние суммы — это суммы по розовым полоскам. А внешняя сумма собирает их вместе.

Большое спасибо!

[provincialka]

VoprosT
Вы зачем цитируете такие большие куски текста? Используйте кнопку "вставка" вместо "цитата"
Кстати, в последнем сообщении достаточно было щелкнуть на нике автора, мне кажется.