2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Изменение порядка суммирования в кратных суммах
Сообщение12.09.2020, 18:36 
Читаю "Concrete Mathematics",там на моменте про изменение порядка суммирования в кратных суммах отдельно оговаривается случай, когда область изменения внутреннего индекса зависит от внешнего индекса.
Например, есть сумма: $\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{k=j}^{n}a_{j,k}$
Авторы используют нотацию(скобку) Айверсона и показывают: $[1 \leqslant j \leqslant n][j \leqslant k \leqslant n] = [1 \leqslant j \leqslant k \leqslant n] = [1 \leqslant k \leqslant n][1 \leqslant j \leqslant k]$.
Таким образом $\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{k=j}^{n}a_{j,k} = \sum\limits_{1 \leqslant j \leqslant k \leqslant n}a_{j,k}=\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{k}a_{j,k}$.
Я не очень прочувствовал, почему это равенство верно, решил посмотреть на примерах с небольшими $k$ и $j$ и заметил, что если выписывать суммы построчно (одна строка - одно значение индекса внешней суммы), то получаются транспонированные диагональные "матрицы", почему?
Я проверил с помощью таблицы истинности, что равенства, касающиеся скобок Айверсона, действительно верны, но всё равно осадочек какой-то остался. Может кто-то из форумчан сможет по-другому объяснить мне это "правило" действия с кратными суммами?

 
 
 
 Re: Изменение порядка суммирования в кратных суммах
Сообщение12.09.2020, 18:41 
Аватара пользователя
Заштрихуем треугольник вертикальными отрезками. А теперь - горизонтальными. О, чудо, площадь не изменилась!

 
 
 
 Re: Изменение порядка суммирования в кратных суммах
Сообщение13.09.2020, 16:45 
С именем Дирихле связывают перестановку пределов только в интеграле по треугольнику, или в суммах тоже?

 
 
 
 Re: Изменение порядка суммирования в кратных суммах
Сообщение13.09.2020, 17:13 
novichok2018 в сообщении #1483071 писал(а):
С именем Дирихле связывают перестановку пределов ... в интеграле
Дирихле? Что-то я об этом впервые слышу. По-моему, соответствующие теоремы безымянны. Но, правда, я давненько не заглядывал в учебники по матану.

 
 
 
 Re: Изменение порядка суммирования в кратных суммах
Сообщение13.09.2020, 19:09 
Фихтенгольц, третий том, с. 158: доказанная формула обычно связывается с именем Дирихле...

 
 
 
 Re: Изменение порядка суммирования в кратных суммах
Сообщение13.09.2020, 19:28 
Аватара пользователя
Соотношения подобного рода, достойные отдельного наименования, обычно ассоциируются с фамилией Фубини.

 
 
 
 Re: Изменение порядка суммирования в кратных суммах
Сообщение13.09.2020, 19:32 
Фубини - это общая формула сведения двойного к повторным, по любым областям. В треугольнике с упомянутым здесь штрихованием вертикальным или горизонтальным - Дирихле.

 
 
 
 Re: Изменение порядка суммирования в кратных суммах
Сообщение13.09.2020, 20:25 
Утундрий в сообщении #1482923 писал(а):
Заштрихуем треугольник вертикальными отрезками. А теперь - горизонтальными. О, чудо, площадь не изменилась!

Ваше сообщение не добавило ясности, потому что штрихи как-то не сопоставляются с двойной суммой. Но я придумал для себя другое объяснение(впрочем, в книге оно приводится, как пример, но не как объяснение) : рассмотреть следующую матрицу $$\begin{pmatrix}
 a_1a_1& ... & a_1a_k\\ 
 ...&  ...&... \\
 a_ja_1& ... & a_ja_k
\end{pmatrix}$$

 
 
 
 Re: Изменение порядка суммирования в кратных суммах
Сообщение14.09.2020, 02:14 
Аватара пользователя
VoprosT в сообщении #1483104 писал(а):
Ваше сообщение не добавило ясности
Не может быть, чтобы не добавило!

А так?
Изображение
В варианте слева каждому $j$ (внешнему индексу) соответствует строка — жёлтая полоска.
Внутренние суммы — это суммы по жёлтым полоскам. А внешняя сумма собирает их вместе.

В варианте справа каждому $k$ (внешнему индексу) соответствует столбец — розовая полоска.
Внутренние суммы — это суммы по розовым полоскам. А внешняя сумма собирает их вместе.

 
 
 
 Re: Изменение порядка суммирования в кратных суммах
Сообщение14.09.2020, 07:41 
Красивое и наглядное объяснение для сумм, ранее подобный рисунок встречал только для интегралов. Спасибо.

 
 
 
 Re: Изменение порядка суммирования в кратных суммах
Сообщение14.09.2020, 09:41 
svv в сообщении #1483145 писал(а):
VoprosT в сообщении #1483104 писал(а):
Ваше сообщение не добавило ясности
Не может быть, чтобы не добавило!

А так?
Изображение
В варианте слева каждому $j$ (внешнему индексу) соответствует строка — жёлтая полоска.
Внутренние суммы — это суммы по жёлтым полоскам. А внешняя сумма собирает их вместе.

В варианте справа каждому $k$ (внешнему индексу) соответствует столбец — розовая полоска.
Внутренние суммы — это суммы по розовым полоскам. А внешняя сумма собирает их вместе.


Большое спасибо!

 
 
 
 Re: Изменение порядка суммирования в кратных суммах
Сообщение15.09.2020, 08:44 
Аватара пользователя
VoprosT
Вы зачем цитируете такие большие куски текста? Используйте кнопку "вставка" вместо "цитата"
Кстати, в последнем сообщении достаточно было щелкнуть на нике автора, мне кажется.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group