Сравнить два числа

[VoprosT]

Подскажите, пожалуйста, ход в задаче:
Необходимо сравнить два числа: $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{20}}$ и $\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}+\frac{1}{3^{\frac{1}{3}}}+...+\frac{1}{14^{\frac{1}{3}}}$. Второе число больше(Mathematica так подсказывает), но, как красиво и просто к этому прийти, не понимаю. Попытался посмотреть на $\frac{1}{k^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{\sqrt{k}}$, получил выражение $\frac{k^{\frac{1}{6}}-1}{\sqrt{k}}$, но это не сильно спасло ситуацию(думал, вдруг сумма таких разностей очевидным образом больше "остатка", то есть суммы обратных корней от 15 до 20, но очевидностью не пахнет).

-- 13.09.2020, 20:18 --

*Мысли, пришедшие в процессе написания сообщения:
По индукции можно показать, что $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}} \geqslant \sqrt{n}-1$, тогда $\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}+\frac{1}{3^{\frac{1}{3}}}+...+\frac{1}{n^{\frac{1}{3}}} \geqslant n^{\frac{1}{6}}-1$.
Но $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{20}} > 14^{\frac{1}{6}} - 1$

[gris]

А не пробовали интегральчиками оценить одну сумму сверху, другую снизу? Можно и не с первого слагаемого

[VoprosT]

gris в сообщении #1483112 писал(а):

А не пробовали интегральчиками оценить одну сумму сверху, другую снизу? Можно и не с первого слагаемого

Такое я ещё не умею, узнаю об этом чуть позже. А без интегралов никак?

[gris]

Просто второе неравенство у вас очень слабенькое. Оно верное, конечно, но с очень уж большим запасом. Ведь все члены второго ряда больше соответствующих членов первого. Значит и суммы больше. Первую сумму надо оценивать сверху. Надо другие оценки отыскать

[VoprosT]

gris в сообщении #1483116 писал(а):

Просто второе неравенство у вас очень слабенькое. Оно верное, конечно, но с очень уж большим запасом. Ведь все члены второго ряда больше соответствующих членов первого. Значит и суммы больше.

Хм. Вторая сумма до 14 же, а первая до 20.

[StaticZero]

VoprosT, при доказательстве неравенства $A > B$ вам может быть полезно найти "проставку" $C$ такую, что
$A \geqslant C > B$ или $A > C \geqslant B$.

-- 13.09.2020 в 22:26 --

Задачу ещё можно решить методом грязного взлома (осторожно, спойлер)

(Оффтоп)

через функцию

$$ \frac{1}{\sqrt[3]{n}} + \frac{1}{\sqrt[3]{15 - n}} - \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{15 - n}} - \frac{1}{\sqrt{22 - n}} $$

но найти хорошую оценку интереснее (я не знаю, как).